高中数学2.3 直线的交点坐标与距离公式达标测试

2.3  直线的交点及距离公式

考点一 直线的交点

【例1】(2019·江苏昆山.高一期中)如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于(    )

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】由，解得，所以，．故选：D．

【举一反三】

1．(2019·哈尔滨市第一中学校高一期末)直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】联立方程，解得：

所以两直线的交点为，所以直线的斜率为，

则直线的方程为：，即.故选：B

2．(2020·内蒙古集宁一中高一期中)直线和的交点在y轴上，则k的值为(    )

A．-24 B．6 C． D．-6

【答案】C

【解析】因为两条直线和的交点在轴上，所以设交点为，

所以，消去，可得．故选：．

3．(2020·元氏县第一中学)经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(    )

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】设直线方程为，即

令，得，令，得.由，得或.

所以直线方程为或.故选：C.

考点二 三种距离问题

【例2】(1)(2020·巴楚县第一中学高一期末)已知点，的距离是17 ，则a的值是(    )

A．8 B．6 C．±8 D．±6

(2)(2018·福建高一期末)原点到直线的距离为(    )

A． B． C． D．

(3)(2020·湖南张家界.高一期末)直线与直线平行，则它们的距离为(    )

A． B． C． D．

【答案】(1)C(2)D(3)B

【解析】(1)，即，.故选：C

(2)由点到直线距离可知所求距离.故选：.

(3)直线，即，与直线平行，

，根据两条平行直线之间的距离公式

得.故选：B.

【举一反三】

1．(2020·全国高三课时练习(理))若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=(    )

A．0 B．1 C．-2 D．-1

【答案】C

【解析】由，得，解得，即直线，

两直线之间的距离为，解得 (舍去)，所以故答案选C.

2．(2020·景东彝族自治县第一中学高二期中)到直线的距离等于的直线方程为(　　)

A．B．

C．或D．或

【答案】D

【解析】因为所求与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，

设所求直线方程为，，解得或，

故所求直线方程为或.故选：D.

3．(2020·全国高三课时练习(理))过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________.

【答案】或

【解析】由，得，所以，直线与的交点为.

当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点到该直线的距离为，不合乎题意；

当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为，即，

由于点到所求直线的距离为，可得，

整理得，解得或.

综上所述，所求直线的方程为或.

故答案为：或.

考点三 对称问题

【例3】(1)(2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末)若点P(3，4)和点Q(a，b)关于直线对称，则(   )

A．， B．，

C．， D．，

(2)(2020·河北高一期末)直线y＝4x﹣5关于点P(2，1)对称的直线方程是(    )

A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9

【答案】(1)A(2)C

【解析】(1)由，解得，故选A．

(2)设直线上的点关于点的对称点的坐标为，

所以，，所以，，

将其代入直线中，得到，化简得，故选：C．

【举一反三】

1．(2020·开鲁县第一中学高一期末(理))已知点与点关于直线对称，则点的坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设,则，选D.

2．(2019·营口市第二高级中学高二月考)点关于直线对称的点´的坐标是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设点，则线段的中点为，

又点在直线上，

所以 因为直线，，所以 .联立，解得，.故选C.

3．(2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考)直线关于直线对称的直线方程是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，直线与直线的交点为，直线的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．直线的斜率为2，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程是，即．选C.

4．(2020·江苏省江阴高级中学高一期中)已知直线l：x＋2y－2＝0.

(1)求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；

(2)求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．

【答案】(1)7x－y－14＝0；(2)x＋2y－4＝0.

【解析】(1)由解得交点P(2,0)．

在l1上取点M(0，－2)，

M关于l的对称点设为N(a，b)，

则,

解得，所以，

又直线l2过点P(2,0)，

所以直线l2的方程为7x－y－14＝0.

(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，

所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.

在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，

所以,所以m＝－4，

即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.