湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合复习练习题

课时跟踪检测(三)　子集和补集

[A级　基础巩固]

1．(多选)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有(　　)

A．1∈A　　　　　　 B．{－1}∈A

C．∅⊆A  D．{1，－1}⊆A

解析：选ACD　A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，故A、C、D正确，B不正确．

2．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为(　　 )

A．15  B．16

C．256  D．32

解析：选A　根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1，1，3和，2和这“四大组”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A.

3．(多选)如下四个结论中，正确的有(　　)

A．∅⊆∅  B．0∈∅

C．{0}∅  D．{0}＝∅

解析：选AC　空集是自身的子集，A正确；0不是空集中的元素，B错误；空集是任何非空集合的真子集，C正确；{0}是含一个元素0的集合，不是空集，D错误．

4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于(　　)

A．0或2  B．0

C．1或2  D．2

解析：选D　由题意，知则a＝2.

5．集合A＝{(x，y)|y＝|x|}，集合B＝{(x，y)|y>0，x∈R}，则下列说法正确的是(　　)

A．A⊆B  B．B⊆A

C．A＝B  D．集合A，B间没有包含关系

解析：选D　A＝{(x，y)|y＝|x|}表示y＝|x|图象上所有点的集合，B＝{(x，y)|y>0，x∈R}表示x轴上方所有点的集合．由于(0，0)∈A，但(0，0)∉B，故集合A，B间没有包含关系．

6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________．

解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.

答案：BA

7．若全集U＝{x|－3≤x≤3，x∈R}，A＝{x|－3≤x≤0或1＜x≤2}，则∁UA＝________．

解析：如图，由补集定义可知∁UA表示图中阴影部分，故∁UA＝{x|0＜x≤1或2＜x≤3}．

答案：{x|0＜x≤1或2＜x≤3}

8．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x－1＜4}．

(1)若A＝B，则y的值为________；

(2)若A⊆C，则a的取值范围为________．

解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.

若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3.

综上，y的值为1或3.

(2)因为C＝{x|2＜x＜5}，

所以所以3＜a＜5.

答案：(1)1或3　(2)(3，5)

9．判断下列集合间的关系：

(1)A＝{－1，1}，B＝{x|x2＝1，x∈N}；

(2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；

(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；

(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．

解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.

(2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q.

(3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，

B＝{x|2x－5≥0}＝，

所以利用数轴判断A，B的关系．

如图所示，AB.

(4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，

B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.

10．已知a∈R，x∈R，A＝{2，4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3，1}，求：

(1)当A＝{2，3，4}时，x的值；

(2)当2∈B，BA时，a，x的值；

(3)当B＝C时，a，x的值．

解：(1)因为A＝{2，3，4}，所以x2－5x＋9＝3，

所以x2－5x＋6＝0，

解得x＝2或x＝3.

(2)因为2∈B且BA，所以

解得或均符合题意．

所以a＝－，x＝2或a＝－，x＝3.

(3)因为B＝C，所以

①－②并整理得a＝x－5，                      ③

③代入①并化简得x2－2x－3＝0，

所以x＝3或x＝－1.

所以a＝－2或a＝－6.

经检验，a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1均符合题意．

所以a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1.

[B级　综合运用]

11．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是(　　)

A．{1，8}  B．{2，3}

C．{1}  D．{2}

解析：选AC　∵A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，∴集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知A、C满足题意．

12．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9}，则∁UA＝(　　)

A．{x|x＜0或x＞4}  B．{x|x≤0或x＞4}

C．{x|x≤0或x≥4}  D．{x|x＜0或x≥4}

解析：选D　∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9}＝{x|0≤x＜4}，∴∁UA＝{x|x＜0或x≥4}，故选D.

13．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．若B⊆∁RA，则实数m的取值范围为________．

解析：∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．

当B＝∅，即m≥1＋3m时，得m≤－，满足B⊆∁RA；

当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立，

则或解得m>3.

综上可知，实数m的取值范围是m>3或m≤－.

答案：m>3或m≤－

14．(2021·长春联考)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

(1)若BA，求实数m的取值范围；

(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．

解：(1)①当B＝∅时，

由m＋1>2m－1，得m<2.

②当B≠∅时，如图所示．

∴或

解这两个不等式组，得2≤m≤3.

综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．

(2)由题意，得即此时无解，

∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B.

[C级　拓展探究]

15．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．

解：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，

∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B.

又BA，∴a－1＝1，即a＝2.

∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，

∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}．

当C＝{1，2}时，b＝3；

当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；

当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2<b<2.

综上可知，存在a＝2，b＝3或－2<b<2满足要求．