湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合测试题

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1.1.2子集和补集同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合，，则 

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，正确的个数是： 
   ；；；；；．

A.  B.  C.  D.

3. 已知全集且，则集合的非空真子集共有   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 已知全集且，则集合的非空真子集共有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 下列各式中，正确的个数是：
   ；；；；；

A.  B.  C.  D.

6. 已知全集且，则集合的非空真子集共有 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 有下列命题：是一元二次方程；二次函数与轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集．真命题有     

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 下列表示错误的是

A.  B.
C.  D. 无理数

9. 下列关系中：，，， 正确的个数为  

A.  B.  C.  D.

10. 已知集合，则

A.  B.  C.  D.

11. 设，，则     

A.  B.  C.  D.

12. 设集合，，则两集合间的关系是

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 设是中的两个子集，对于，定义：，若，则对任意      ；若对任意，则的关系是      ．
14. 已知集合，，则          ，且          ．
15. 设是中两个子集，对于，定义： 

若则对任意，          ；

若对任意，，则的关系为                

16. 已知集合，则列举法表示集合          ，集合的真子集有          个
17. 已知集合，．
    集合的真子集的个数为          ；
    若，则的所有可能的取值构成的集合是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求的取值范围若不存在，说明理由．

问题：已知集合，，是否存在实数，使得____________

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．






 

19. 已知集合，

Ⅰ若，求．

Ⅱ若，求实数的取值范围．






 

20. 在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
    问题：已知集合，，是否存在实数，使得_______？
    
    
    
    
    
    
     
21. 回答问题

计算：；

已知，若，求的取值范围．






 

22. 已知全集，集合．
    若，求和；
    若，求实数的取值范围；
    若，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知全集，集合，，．
    求
    若，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查集合的基本运算及集合间的关系的判断，基本知识的考查．

【解答】

解：集合，，
可得，，，所以D正确．
故选D．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查集合的有关定义，元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于中档题．
根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可．

【解答】

解：对，集合与集合之间不能用“”符号，故不正确；
对，任何集合都是本身的子集，故正确；
对，空集是任何集合的子集，故正确；
对，空集是不含任何元素的集合，而是含有个元素的集合，故不正确；
对，集合是数集，含有个元素，集合是点集，只含个元素，故不正确；
对，元素与集合只能用或符号，故不正确．
所以正确的个数有个．
故选B．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查集合的关系及补集运算，可先根据补集运算求出集合，再找出的非空真子集个数即可．

【解答】

解：全集，且，

，
集合的非空真子集共有个．

故选B ．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查集合的关系及补集运算，可先根据补集运算求出集合，再找出的非空真子集个数即可．

【解答】

解：全集，且，

，
集合的非空真子集共有个．

故选B ．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查集合的有关定义，元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题．

根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断选项．

【解答】

解：对，集合与集合之间不能用符号，故不正确；

对，由于集合两个集合相等，任何集合都是本身的子集，故正确；

对，空集是任何集合的子集，故正确；

对，空集是不含任何元素的集合，而是含有个元素的集合，故不正确；

对，集合是数集，含有个元素，集合是点集，只含个元素，故不正确．

所以正确命题的个数有个．

故选B．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查集合的关系及补集运算，可先根据补集运算求出集合，再找出的非空真子集个数即可．

【解答】

解：全集，且，

，
集合的非空真子集共有个．

故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假判断，考查二次函数、集合的相关知识，属于基础题．
运用相关知识对每个命题一一加以判断．

【解答】

解：当时，方程是一元一次方程，错误；
方程的判别式，其值不一定大于或等于，
所以与轴至少有一个交点不能确定，错误；
正确；
空集不是空集的真子集，错误．
故选A．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了空集、子集和并集及其运算，属基础题．
根据的定义，可以判断的真假；根据元素与集合的关系可知真假，根据的性质可以判断的真假；实数集，有理数集和无理数集，可以判断的真假，进而得到答案．
【解答】
解：对于，空集是任何集合的子集，故A正确；
对于，集合可以看成是一个元素，是由集合组成的一个集合，所以，故B正确；
对于， 由空集是任何集合的子集，所以，故C正确，
对于，有理数集在实数集中的补集应为无理数集，而不是无理数，故D错误，
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题，根据元素与集合的关系，集合与集合的关系对每一小题逐一判断即可．
【解答】
解：，由元素与集合的关系可知正确，
，由空集是任何非空集合的真子集可知正确，
，是含个元素的数集，而是含个元素的点集，故不正确，
，两边分别表示含个元素的点集，表示不同的点，故不正确．
故正确的个数为，
故选B．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查集合间的关系，由题意化简两个集合，利用补集，集合的关系逐项分析各个选项即可．
【解答】解：由题意得，，
故选C．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查集合间的关系以及集合的补集运算，涉及指数函数的性质，一元二次不等式的解法，属于基础题．
先化简，，判断即可．
【解答】
解：因为，，所以或，．
所以．
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是集合的包含关系判断，属于基础题．
令或，得，根据集合间的关系判断答案即可．

【解答】

解：因为，
所以或，
所以，
因为，
所以．
故选B．

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查对集合含义的理解，集合与集合关系的判断，以及分类讨论思想，属中档题．
由由时，，可得时，必有，可得．
对任意，，则，的值一个为，另一个为，可得：时，必有，或时，必有，即可得出，的关系．
【解答】
解：，则时，，，
时，必有，，，
综上可得：；
对任意，，则，的值一个为，另一个为，即时，必有，
或时，必有，
，的关系为B.
故答案为：，   B.  

14.【答案】或

【解析】

【分析】

本题考查集合之间的关系，考查集合的补集运算，属于基础题．
直接利用子集和补集定义求解即可．

【解答】

解：因为集合，，
则，或，
且，．
故答案为或；．

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了集合的基本关系与运算，关键要理解题目的意思，熟练掌握定义及性质是解题的关键由新定义分析即可得答案
【解答】
若，，则，此时，若，则一定有，则，，此时；
若对任意，则，或，，
，时，，，
，时，，，
则若对任意，一定在或之一，所以  ．
故答案为；   ．  

16.【答案】  

【解析】

【分析】

本题考查集合的求法，考查集合的真子集个数的求法．
利用列举法能求出集合，进而能求出集合的真子集的个数．

【解答】

解：集合，
列举法表示集合，
集合的真子集有个．
故答案为：，．

17.【答案】；

【解析】

【分析】

本题主要考查了子集与真子集，集合包含关系中的参数取值问题，元素与集合的关系，属于基础题．
利用真子集个数的计算公式即可得到集合的真子集个数，由，得且，即可得所求．

【解答】

解：集合，集合的真子集的个数为；
集合，，且，
且，则的所有可能的取值构成的集合是．
故答案为；．

18.【答案】解：，

当时，；                                           

当时，；                                             

当时，                                        

若选择，则，                                 

当时，要使，则，所以；  

当时，，满足题意；                            

当时，不满足题意．                         

所以选择，则实数的取值范围是                        

若选择，

当时，，，满足题意；               

当时，，不满足题意；                          

当时，，，不满足题意．            

所以选择，则实数的取值范围是                   

若选择，

当时，，，而，不满足题意；

当时，，，而，满足题意；                 

当时，，，而，满足题意．  

所以选择，则实数的取值范围是                           

【解析】本题主要考查了集合的运算、集合关系中参数的取值范围、分类讨论思想，属于中档题．
先分类讨论写出集合的解集，最后根据选择的结果，分类结合集合关系中参数的取值范围求解即可．
 

19.【答案】解：Ⅰ当时，
        ，
 或
Ⅱ当时，即解得，
当时，需满足或，
解得，
综上或 ．
 

【解析】本题考查集合的运算以及集合的关系，属于基础题．
Ⅰ当时，得到集合，利用并集概念即可求出；
Ⅱ分和两种情况即可求解，然后再求并集．
 

20.【答案】解：，                              

，

当时，；                                           

当时，；                                             

当时， 

若选择，，则，                                 

当时，要使，则，所以，

当时，，满足题意；

当时，不满足题意；

所以选择，则实数的取值范围是；  
若选择，   

当时，，，满足题意；

当时，，不满足题意；

当时，，，不满足题意；

所以选择，则实数的取值范围是；                                         

若选择，

当时，，，而，不满足题意；

当时，，，而，满足题意；                 

当时，，，而，满足题意．  

所以选择，则实数的取值范围是                   
综上得：若选择，则实数的取值范围是；
若选择，则实数的取值范围是；
若选择，则实数的取值范围是       

【解析】本题主要考查了集合的运算、集合关系中参数的取值范围、分类讨论思想，属于中档题．
先求集合，在分类讨论写出集合的解集，最后根据选择的结果，分类结合集合关系中参数的取值范围求解即可．
 

21.【答案】解：原式．
当，
即时，，满足题意，
，
当，
即时，，

综上所述，
的取值范围为．
 

【解析】本题主要考查了指数与对数函数的综合应用，属于基础题．
由指数与对数的性质化简即可．
本题主要考查了空集，子集的概念，空集和所有集合的关系，属于基础题．
当，即时，，满足题意，，当，即时，，即可列式，化简求解即可．
 

22.【答案】解：当时，，
由得，
所以．
所以或，．
因为，且，
则，解得．
所以实数的取值范围是．
因为，
所以或．
所以或．
所以实数的取值范围是
 

【解析】本题考查集合的补集、并集运算，考查子集的知识，以及由集合间的关系求解参数的取值范围问题，属于基础题．
首先求得，又当时，，故或，，问题得解；
由题意列出不等式组，求解即可；
由题意列出不等式或，求解即可．
 

23.【答案】解：或，，
．
，
当即时，；
当即时，
要使，有
 
又，，
的取值范围是．
 

【解析】本题考查集合的运算和参数的取值问题，属于基础题．
由已知集合、，结合集合的运算可得答案；
得出集合，由集合间的关系对分类讨论可得的取值范围．