人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示达标测试

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1．下面三种说法中正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
③零向量不可作为基底中的向量.
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】B
【解析】由于同一个平面内任意两个不共线的向量都可以作为表示这个平面内所有向量的基底,故①是错的,②③是对的,故选：B.
2.设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①eq \(AD,\s\up8(→))与eq \(AB,\s\up8(→))；②eq \(DA,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))；③eq \(CA,\s\up8(→))与eq \(DC,\s\up8(→))；④eq \(OD,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→)).其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】如图所示，eq \(AD,\s\up8(→))与eq \(AB,\s\up8(→))为不共线向量，可以作为基底.eq \(CA,\s\up8(→))与eq \(DC,\s\up8(→))为不共线向量，可以作为基底.eq \(DA,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))，eq \(OD,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))均为共线向量，不能作为基底．
,故选：C
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq \(AD,\s\up8(→))＝2eq \(DB,\s\up8(→))，eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up8(→))＋λeq \(CB,\s\up8(→))，则λ＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,2)
【答案】A
【解析】∵eq \(AD,\s\up8(→))＝2eq \(DB,\s\up8(→))，∴eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)(eq \(CB,\s\up8(→))－eq \(CA,\s\up8(→)))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up8(→)).
又∵eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up8(→))＋λeq \(CB,\s\up8(→))，∴λ＝eq \f(2,3).故选：A
4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则eq \f(n,m)＝( )
A．eq \f(1,2) B．2 C．eq \f(1,4) D．4
【答案】B
【解析】由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，
∴eq \f(n,m)＝2,故选：B
5．在中，为上一点，是的中点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，因为是的中点， 所以，，解得 ，.
故选:B.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．设是所在平面内的一点，，则
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】用向量做基底
显然成立，选项正确，
，，
，
，，选项正确，
，选项错误，
，选项错误， 故选：．
7.如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，
使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
【答案】BC
【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.
对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.
对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.
故选:BC.
8．设a是已知的平面向量，向量a，b，c在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（ ）
A. 给定向量b，总存在向量c，使a=b+c；
B. 给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a=λb+μc；
C. 给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a=λb+μc；
D. 若|a|=2，存在单位向量b，c和正实数λ，μ，使a=λb+μc，则3λ+3μ>6．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，给定向量a和b，只需求得其向量差a−b即为所求的向量c，故总存在向量c，使a=b+c，故A正确；
对于选项B，当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
对于选项C，取a=(4,4)，μ=2，b=(1,0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a=λb+μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
对于选项D，∵|a|2=(λb+μc)2=λ2+μ2+2λμcs=4，又b与c不共线，
∴λ2+μ2+2λμ>4，即(λ+μ)2>4，即λ+μ>2，
∵3λ+3μ≥23λ⋅3μ=23λ+μ(当且仅当λ=μ时等号成立)，
23λ+μ>2×3=6，得3λ+3μ>6，故D正确； 故选：ABD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．设向量，不平行，向量与平行．则实数______．
【答案】-4
【解析】∵不平行，∴；
又与平行；
∴存在实数μ，使；
∴根据平面向量基本定理得，∴λ=-4．故答案为：-4．
10．若，， ，，则______，______.
【答案】
【解析】因为,,
所以，即,
因为，，，
由平面向量基本定理可得，.
故答案分别为：；
11．已知点是所在平面内一点，且满足，若，则___________
【答案】
【解析】由题意，如图所示，因为，所以
又因为，所以，
故答案为:-2.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在中，，且与的夹角为，.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】选取向量为基底．
（1）由已知得，
，
∴
．
（2）由（1）得，
又，
∴．
13．如图所示，在中，是以为中点的点的对称点，，和交于点，设，.
（1）用和表示向量、；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由题意知，是线段中点，且.
，
；
（2），
由题可得，且，
设，即，则有，解得.
因此，.
14．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，若eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；
(2)已知点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
【答案】（1）0；（2）-1
【解析】(1)因为eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，
又因为eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，
所以r＝eq \f(2,3)，s＝－eq \f(2,3)，
所以r＋s＝0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，
又因为eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋(m＋1)eq \(OA,\s\up6(→))，
依题意eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，
解得m＝－1.