人教版新课标A选修2-12.3双曲线巩固练习

这是一份人教版新课标A选修2-12.3双曲线巩固练习，共4页。试卷主要包含了基础过关，能力提升，探究与拓展等内容，欢迎下载使用。
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2)
2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
A．y＝±3x B．y＝±eq \f(1,3)x
C．y＝±eq \r(3)x D．y＝±eq \f(\r(3),3)x
3．双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2eq \r(3) B．2 C.eq \r(3) D．1
4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－eq \f(1,4) B．－4 C．4 D.eq \f(1,4)
5．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(6) B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \f(\r(3),3)
6．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 D.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1
二、能力提升
7．若双曲线离心率为eq \r(5)，焦点在x轴上，则其渐近线方程为____________．
8．已知圆C过双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
9．如图所示，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经
过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为___________________________________________________．
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1有共同的渐近线，且过点(－3,2eq \r(3))；
(2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq \r(2)，2)．
11．已知双曲线的一条渐近线为x＋eq \r(3)y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
12．求证：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．
三、探究与拓展
13．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，求该双曲线的离心率的取值范围．
答案
1．C 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A
7．y＝±2x
8.eq \f(16,3)
9.eq \r(3)＋1
10．解 (1)设所求双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝λ (λ≠0)，
将点(－3,2eq \r(3))代入得λ＝eq \f(1,4)，
所以双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝eq \f(1,4)，即eq \f(4x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
故双曲线标准方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,4)＝1.
(2)设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)．
由题意易求c＝2eq \r(5).
又双曲线过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(3\r(2)2,a2)－eq \f(4,b2)＝1.
又∵a2＋b2＝(2eq \r(5))2，∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
11．解 椭圆方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,16)＝1，可知椭圆的焦距为8eq \r(3).
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝48，,\f(b,a)＝\f(\r(3),3)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝36，,b2＝12.))
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,36)－eq \f(y2,12)＝1.
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a>0，b>0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝48，,\f(a,b)＝\f(\r(3),3)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝12，,b2＝36.))
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,12)－eq \f(x2,36)＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
eq \f(x2,36)－eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,12)－eq \f(x2,36)＝1.
12．证明 设P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，可得P到bx＋ay＝0的距离d1＝eq \f(|bx0＋ay0|,\r(a2＋b2))，
P到bx－ay＝0的距离d2＝eq \f(|bx0－ay0|,\r(a2＋b2)).
∴d1d2＝eq \f(|bx0＋ay0|,\r(a2＋b2))·eq \f(|bx0－ay0|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|b2x\\al(2,0)－a2y\\al(2,0)|,a2＋b2).
又P在双曲线上，∴eq \f(x\\al(2,0),a2)－eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，
即b2xeq \\al(2,0)－a2yeq \\al(2,0)＝a2b2，∴d1d2＝eq \f(a2b2,a2＋b2).
故P到两条渐近线的距离之积为定值．
13．解 如图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由题意及正弦定理得eq \f(n,m)＝eq \f(a,c)，
∴n＝eq \f(a,c)m.又m－n＝2a，
∴m－eq \f(a,c)m＝2a，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,c)))m＝2a，∴m＝eq \f(2ac,c－a).
又m>c＋a，∴eq \f(2ac,c－a)>c＋a，即c2－2ac－a2