高中数学人教版新课标A选修2-12.3双曲线随堂练习题

2.3.2　双曲线的简单几何性质

基础过关练

题组一　双曲线性质的简单应用

1.若双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值为(　　)

A.- B.-4 C.4 D.

2.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为(　　)

A.-=1 B.-=1

C.-=1 D.-=1

3.(2017山西晋中榆社中学高二下学期期中)如图,双曲线C:-=1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是(　　)

A.3 B.4 C.6 D.8

4.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　. 

题组二　双曲线的离心率

5.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则它的离心率为(　　)

A.   B.  C.2 D.3

6.设圆锥曲线的两个焦点分别为F1,F2,若曲线上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线的离心率等于(　　)

A.或  B.或2 C.或2 D.或

7.设F1和F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为　　　　. 

8.若双曲线+=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是　　　　. 

9.过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1为左焦点,且∠PF1Q=,则双曲线的离心率是　　　　. 

题组三　双曲线的渐近线及其应用

10.双曲线-=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于　(　　)

A. B.3 C.4 D.2

11.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(　　)

A.x±y=0 B.x±y=0

C.x±2y=0 D.2x±y=0

题组四　直线与双曲线的位置关系

12.若无论k为何值,直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点,则b的取值范围是(　　)

A.(-,)  B.[-,]

C.(-2,2)     D.[-2,2]

13.直线x+y=1与双曲线4x2-y2=1相交所得弦长为(　　)

A. B. C. D.

14.已知双曲线x2-=1,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,这样的直线l共有(　　)

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

15.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是　　　　. 

16.已知双曲线C1:x2-=1.

(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程;

(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当·=3时,求实数m的值.

能力提升练

一、选择题

1.(2019广东广州二中高二上学期月考,★★☆)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则双曲线C的方程为(　　)

A.-=1 B.-=1

C.-=1 D.-=1

2.(2019重庆沙坪坝高二期中,★★☆)已知点P为双曲线C:-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若双曲线C的离心率为,△PF1F2的内切圆圆心为I,半径为2,若=+2,则b的值是(　　)

A.2 B. C. D.6

3.(2019福建漳平高二月考,★★★)若直线y=kx-1与双曲线-=1有且只有一个公共点,则k的值为(　　)

A.±      B.±

C.±或±   D.±或±或0

4.(2020湖南常德高二期末,★★★)已知F1,F2为双曲线的焦点,过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A,B两点,BF1交虚轴于点C,若|+|=|-|,则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C.2  D.2

二、填空题

5.(2018山东济南外国语学校高二上学期月考,★★☆)如图,F1,F2分别是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是　　　　. 

6.(2019福建福州期末联考,★★☆)已知直线l与双曲线x2-4y2=4相交于A,B两点,若点P(4,1)为线段AB的中点,则直线l的方程是　　　　　　　. 

三、解答题

7.(2019黑龙江牡丹江一中高二上学期月考,★★★)已知双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若=λ,λ∈,求△AOB的面积的取值范围.

8.(★★★)已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点为F(-2,0).

(1)求双曲线的方程;

(2)设Q是双曲线上一点,且过点F,Q的直线l与y轴交于点M.若||=2||,求直线l的方程.

答案全解全析

基础过关练

1.A　双曲线方程化为标准形式为y2-=1,则有a2=1,b2=-.由题设知,2=,∴m=-.

2.B　由题意得解得a=2,b=2.易知双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为-=1.

3.C　设F2为双曲线的右焦点,连接P2F2,

由双曲线的对称性,知|P1F1|=|P2F2|,

∴|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6.

4.答案　44

解析　由双曲线C的方程,知a=3,b=4,c=5,∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点,且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16.

由双曲线的定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6.

∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,

∴△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.

5.B　不妨设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则2×2b=2a+2c,即b=.又b2=c2-a2,则=c2-a2,所以3c2-2ac-5a2=0,即3e2-2e-5=0,又e>1,所以e=.故选B.

6.A　由题意可设|PF1|=4m,|F1F2|=3m,

|PF2|=2m(m>0),当曲线为椭圆时,长轴长2a=|PF1|+|PF2|=6m,焦距2c=3m,∴e==;当曲线为双曲线时,实轴长2a=|PF1|-|PF2|=2m,焦距2c=3m,∴e==.

7.答案　2

解析　由题设条件可得,=,所以=,所以=1-=1-=,所以e=2.

8.答案　(-12,0)

解析　双曲线方程可变为-=1,则a2=4,b2=-k,c2=4-k,e==.

又因为e∈(1,2),即1<<2,

所以-12<k<0.

9.答案　1+

解析　设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),焦距为2c,则|PQ|=,由题意易知△PF1F2是等腰直角三角形,所以2c=,所以2ac=c2-a2,所以-2×-1=0,即e2-2e-1=0,所以e=1±.又因为e>1,所以e=1+.

10.C　双曲线-=1的一个焦点坐标是(5,0),一条渐近线为y=x,此焦点到渐近线的距离d==4.

11.A　依题意得·=,化简得a2=2b2.

因此C2的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0,故选A.

12.B　直线y=k(x-2)+b过点(2,b).

∵x=2时,y2=x2-1=3,∴y=±,

∴b∈[-,].

13.B　联立

得3x2+2x-2=0.

设直线与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2=-,

∴|AB|=|x1-x2|

=·

=.

14.B　因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线与双曲线只有一个公共点.过P(1,0)且和两条渐近线平行的直线也满足条件,这样的直线有2条.所以符合要求的直线l共有3条,故选B.

15.答案　±1

解析　由消去y得x2-2mx-m2-2=0,Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.

设A(x1,y1),B(x2,y2).

则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,∴线段AB的中点坐标为(m,2m).又∵点(m,2m)在圆x2+y2=5上,∴5m2=5,∴m=±1.

16.解析　(1)双曲线C1的焦点坐标为(,0),(-,0),

设双曲线C2的标准方程为-=1(a>0,b>0),

则解得

所以双曲线C2的标准方程为-y2=1.

(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x,

设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).

由消去y得3x2-2mx-m2=0,

由Δ=(-2m)2-4×3×(-m2)=16m2>0,得m≠0.

因为x1x2=-,所以·=x1x2+(2x1)(-2x2)=-3x1x2=m2,所以m2=3,

即m=±.

能力提升练

一、选择题

1.A　双曲线C的渐近线方程为-=0,又点P(2,1)在C的渐近线上,所以-=0,即a2=4b2①.又a2+b2=c2=25②.由①②,得b2=5,a2=20,所以双曲线C的方程为-=1,故选A.

2.C　设圆I的半径为r,则r=2.

因为=+2,

所以|PF1|·r=|PF2|·r+2,

可得|PF1|-|PF2|=2,

即2a=2,所以a=.

因为双曲线C的离心率为,所以=,所以c=3,

则b===,故选C.

3.C　由得(9-4k2)x2+8kx-40=0,

当9-4k2=0,即k=±时,x=5k,

满足直线与双曲线相交,且只有一个公共点;

当9-4k2≠0,即k≠±时,

令Δ=64k2+160(9-4k2)=0,

解得k2=,即k=±,此时直线与双曲线相切,只有一个公共点,

综上,满足条件的k的值是±或±,

4.B　设O为坐标原点,由题意得OC∥AB,

∵O是F1F2的中点,∴C为F1B的中点.

∵|+|=|-|,

∴|+|2=|-|2,即4·=0,∴AC⊥BF1,∴|AF1|=|AB|,

又由双曲线的对称性,知|AF1|=|BF1|,

∴△ABF1为等边三角形,在Rt△AF1F2中,

|F1F2|=2c,∠AF1F2=30°,

∴|AF2|=c,|AF1|=c,||AF2|-|AF1||=2a=c,∴e=.

二、填空题

5.答案　

解析　∵椭圆C1:+y2=1,∴2a=4,b=1,c=,设|AF1|=x,|AF2|=y,∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即x+y=4①.∵四边形AF1BF2为矩形,∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即x2+y2=(2c)2=12②.由①②,得x=2-,y=2+.设双曲线C2的实轴长为2m,焦距为2n,则2m=|AF2|-|AF1|=y-x=2,2n=2c=2,∴双曲线C2的离心率e==.

6.答案　x-y-3=0

解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,易知k存在且k≠0,

则-4=4,-4=4,

两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)-4(y1-y2)·(y1+y2)=0.

∵点P(4,1)为线段AB的中点,

∴x1+x2=8,y1+y2=2.

代入,得(x1-x2)-(y1-y2)=0,

∴k==1.

因此直线l的方程是y-1=1×(x-4),

即x-y-3=0.

三、解答题

7.解析　(1)由题意,知双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax±by=0的距离为,即=,所以=.

由解得

所以双曲线C的标准方程为-x2=1.

(2)由(1),知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x.

设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.

由=λ,得点P的坐标为.

将点P的坐标代入-x2=1,化简并整理,得

mn==+.

令∠AOB=2θ,则tan=2,

所以tan θ=,sin 2θ=.

又|OA|=m,|OB|=n,

所以S△AOB=|OA|·|OB|sin 2θ=2mn=+1.

记S(λ)=+1,λ∈,

由对勾函数的单调性,可知S(λ)在上是减函数,在(1,2]上是增函数,且在λ=1处取得最小值.

又S=,S(2)=,S(1)=2,

所以△AOB的面积的取值范围是.

8.解析　(1)由题意可设所求双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).

∵=2,c=2,∴a=1,∴b=,

∴所求双曲线的方程为x2-=1.

(2)∵直线l与y轴相交于点M且过焦点F(-2,0),

∴l的斜率一定存在,设为k,

则直线l:y=k(x+2).

令x=0,得M(0,2k).

∵||=2||且M,Q,F共线于直线l,

∴=2或=-2.设点Q(xQ,yQ).

当=2时,xQ=-,yQ=k,

∴Q.

∵点Q在双曲线x2-=1上,∴-=1,∴k=±;

当=-2时,同理求得Q(-4,-2k),代入双曲线方程,得16-=1,∴k=±.

故所求的直线l的方程为y=±(x+2)或y=±(x+2).