高中数学人教版新课标A选修2-12.3双曲线教学设计及反思

双曲线的简单几何性质

●三维目标

1.知识与技能

(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．

(2)理解渐近线的证明方法．

(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系．

2．过程与方法

培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．

3．情感、态度与价值观

培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．

●重点、难点

重点：由方程导出性质及其应用．

难点：渐近线的理解．

从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点．

为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程．

●教学建议

本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索相结合的教学方法，体现学生的主体地位．

●教学流程

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【问题导思】

类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的哪些几何性质？

【提示】　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．

续表　　

【问题导思】

椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？

【提示】　双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.

1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．

2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝.

课堂探究

例题1　求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．

【思路探究】　

【自主解答】　双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为－＝1.

∴实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)．

由c＝＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)．

离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x.

规律方法

1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a、b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．

2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错．

变式训练

求双曲线16x2－9y2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．

【解】　把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程得－＝1，由此可知，实轴长2a＝8，

虚轴长2b＝6，c＝＝5.

焦点坐标为(0，－5)，(0,5)．

离心率e＝＝.

顶点坐标为(0，－4)，(0,4)．

渐近线方程为：y＝±x.

　　 双曲线的方程

例题2　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；

(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．

【思路探究】　(1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？

【自主解答】　(1)设双曲线的标准方程为

－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．

由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，

∴b＝6，c＝10，a＝8，

∴双曲线标准方程为－＝1或－＝1.

(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3得b＝.

∴所求双曲线标准方程为－＝1.

当焦点在y轴上时，由＝且a＝3得b＝2.

∴所求双曲线标准方程为－＝1.

(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，

∴双曲线标准方程为－＝1.

规律方法

1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a，b的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．

2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax±By＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)或－＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷．

3．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．

变式训练

已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．

【解】　法一　∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2＜yP＝3.

∴双曲线的焦点在y轴上．从而有＝，∴b＝2a.

设双曲线方程为－＝1，

由于点P(4,3)在此双曲线上，

∴－＝1，解得a2＝5.

∴双曲线方程为－＝1.

法二　∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，

即－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0.

设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，

∵双曲线过点P(4,3)，∴－32＝λ，即λ＝－5.

∴所求双曲线方程为－y2＝－5，即－＝1.

例题3　分别求适合下列条件的双曲线的离心率．

(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x；

(2)双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.

【思路探究】　(1)由渐近线方程能得到a、b、c的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？

(2)由题意你能得到关于a、b、c的什么关系式？

【自主解答】　(1)若焦点在x轴上，则＝，

∴e＝＝；

若焦点在y轴上，则＝，即＝，

∴e＝＝.

综上可知，双曲线的离心率为或.

(2)依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.

由原点到l的距离为c，得＝c，

即ab＝c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，

即3b4－10a2b2＋3a4＝0，

∴3()2－10×＋3＝0.

解得＝或＝3.

又∵0＜a＜b，∴＝3.

∴e＝＝2.

规律方法

求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a＜b对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．

变式训练

已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．

【解】　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.

∴|PF1|＝.

由双曲线对称性，|PF2|＝|QF2|且∠PF2Q＝90°.

知|F1F2|＝|PQ|＝|PF1|，

∴＝2c，则b2＝2ac.

∴c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0.

即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．

∴所求双曲线的离心率为1＋.

忽略点在双曲线上的位置致误

典例　已知双曲线方程为x2－y2＝1，双曲线的左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是，求a＋b的值．

【错解】　∵P(a，b)到直线y＝x的距离是.

故＝，∴a－b＝±2.

又∵a2－b2＝1，∴(a＋b)(a－b)＝1，∴a＋b＝±.

【错因分析】　错解中忽略了点P在双曲线的左支上，此时，a－b＜0，∴a－b＝－2.

【防范措施】　由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．

【正解】　∵点P(a，b)到直线y＝x的距离为，

故＝，∴a－b＝±2.

又∵P在双曲线的左支上，故a－b＜0，则有a－b＝－2.

又∵a2－b2＝1，即(a－b)(a＋b)＝1，∴a＋b＝－.

课堂小结

1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．

2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：

(1)当焦点在x轴上时，渐近线为y＝±x；当焦点在y轴上时，渐近线为y＝±x.

(2)当渐近线为y＝x时，可设双曲线标准方程为－＝λ(λ≠0)．

(3)与双曲线－＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为－＝λ(λ≠0)．

1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)

A.－＝1

B.－＝1或－＝1

C.－＝1

D.－＝1或－＝1

【解析】　由题意：a＝5，b＝3，且焦点不确定，应选B.

【答案】　B

2．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)

A．y＝±x　　　　 B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

【解析】　由题意，焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，故渐近线方程为y＝±x.

【答案】　C

3．下列曲线中离心率为的是(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

【解析】　选项B双曲线中a＝2，b＝，∴c＝，e＝.

【答案】　B

4．若双曲线的顶点在x轴上，两顶点的距离为8，离心率是，求双曲线的标准方程．

【解】　由题设，设双曲线的标准方程为－＝1

(a＞0，b＞0)．

∵2a＝8，∴a＝4，

由e＝＝，得c＝5，

∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.

因此所求双曲线标准方程为－＝1.

课后习题

一、选择题

1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是(　　)

A.－＝1　　　　B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

【解析】　设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)．

∴a2＋a2＝62，∴a2＝18.

故双曲线方程为－＝1.

【答案】　B

2．(2012·湖南高考)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

【解析】　由2c＝10得c＝5，∵点P(2,1)在直线y＝x上，∴＝1，又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5，故双曲线的方程为－＝1.

【答案】　A

3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)

A.  B.

C.  D.

【解析】　∵双曲线的焦点在x轴上，

∴设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

又其一条渐近线过点(4，－2)，

∴＝，∴a＝2b.

因此c＝＝b.

∴离心率e＝＝.

【答案】　D

4．(2013·天门高二检测)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝(　　)

A.   B．2

C．3   D．6

【解析】　双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝＝.

【答案】　A

5．(2013·临沂高二检测)双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．等腰三角形

【解析】　双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．

【答案】　B

二、填空题

6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.

【解析】　∵2a＝2,2b＝2，∴ ＝2，

∴m＝－.

【答案】　－

7．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．

【解析】　双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，

离心率e＝＝2，∴a＝2，∴b＝＝2.

∴双曲线方程为－＝1.令－＝0，得渐近线方程为x±y＝0.

【答案】　(±4,0)　x±y＝0

8．(2013·北京高二检测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围为________．

【解析】　由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，

又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.

容易知道|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，

即a≥2c，∴e≤，又e＞1，故e∈(1，]．

【答案】　(1，]

三、解答题

9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)；

(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．

【解】　(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，

则由题意可知－＝λ，解得λ＝.

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

(2)设所求双曲线方程为－＝1(16－k＞0,4＋k＞0)，

∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，解得k＝4或k＝－14(舍)．

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

10．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率的取值范围．

【解】　∵l的方程为：bx＋ay－ab＝0.

由点到直线距离公式且a＞1，得

点(1,0)到直线l的距离d1＝，

点(－1,0)到直线l的距离d2＝.

s＝d1＋d2＝≥c.

即5a≥2c2，即5≥2e2，

∴4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5，

∵e＞1，∴≤e≤.

即e的取值范围为[，]．

11．若原点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求·的取值范围．

【解】　由双曲线方程－y2＝1(a＞0)知b＝1.

又F(－2,0)，∴c＝2.

∴a2＋1＝c2＝4，∴a2＝3，

∴双曲线方程为－y2＝1.

设双曲线右支上点P(x，y)，且x≥.

·＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2

＝x2＋2x－1＝2－.

∵x≥，∴当x＝时，上式有最小值3＋2.

故·的取值范围为[3＋2，＋∞).

(教师用书独具)

备选例题

已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围，使直线l与双曲线有两个公共点；直线l与双曲线有且只有一个公共点；直线l与双曲线没有公共点．

【解】　由消去y，

得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0. (*)

(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上．

(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，

Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)．

①即－＜k＜，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．

②即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点．

综上所述：当－＜k＜，且k≠±1时，直线l与双曲线有两个公共点，当k＝±1或k＝±时，直线l与双曲线有且只有一个公共点，当k＜－或k＞时，直线l与双曲线没有公共点．

备选变式

已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．

【解】　双曲线3x2－y2＝3化为x2－＝1，

则a＝1，b＝，c＝2.

∵直线l过点F2且倾斜角为45°，

∴直线l的方程为y＝x－2，

代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

∵x1·x2＝－＜0，

∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．

∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，

∴|AB|＝|x1－x2|＝·

＝·＝6.

因此弦AB的长为6.