数学选修2-12.3双曲线课时训练

双曲线及其标准方程

基础巩固

一、选择题

1．(2015·江西南昌四校联考)已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　)

A．双曲线  B．双曲线左支

C．一条射线  D．双曲线右支

[答案]　C

[解析]　∵|PM|－|PN|＝|MN|＝4，

∴动点P的轨迹是一条射线．

2．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为(　　)

A．(±5,0)  B．(0，±)

C．(±，0)  D．(0，±)

[答案]　D

[解析]　双曲线3x2－4y2＝－12化为标准方程为－＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b2＝7，∴c＝，

又∵焦点在y轴上，故选D．

3．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　)

A．－1<k<1  B．k>0

C．k≥0  D．k>1或k<－1

[答案]　A

[解析]　由题意得(1＋k)(1－k)>0，

∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.

4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是(　　)

A．±1  B．1

C．－1  D．不存在

[答案]　A

[解析]　验证法：当m＝±1时，m2＝1，

对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.

对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，

故当m＝±1时，它们有相同的焦点．

直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.

∴m2＝1，即m＝±1.

5．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是(　　)

[答案]　C

[解析]　把直线方程和曲线方程分别化为y＝mx＋n，＋＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m和截距n的正负，从而断定曲线的形状．

6．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是(　　)

A．16  B．18

C．21  D．26

[答案]　D

[解析]　|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a

＝8，

∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，

∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，

∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5

＝26.

二、填空题

7．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________.

[答案]　－＝1

[解析]　解法一：设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)

又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，

∴，∴.

解法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，则，解得.

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

8．双曲线－y2＝1的一个焦点为F(3,0)，则m＝________.

[答案]　8

[解析]　由题意，得a2＝m，b2＝1，

∴c2＝a2＋b2＝m＋1，又c＝3，

∴m＋1＝9，∴m＝8.

9.已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹是______________.

[答案]　以A，B为焦点的双曲线的下半支

[解析]　∵A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，

∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a，

∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，

∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2<|AB|＝14，

∴点F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下半支．

三、解答题

10．求满足下列条件的双曲线的标准方程．

(1)焦点在x轴上，c＝且经过点(－5,2)；

(2)过P(3，)和Q(－，5)两点．

[解析]　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意得

，

解之得a2＝5，b2＝1，

故所求双曲线方程为－y2＝1.

(2)设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，由题意得

，解之得.

∴所求双曲线方程为－＝1.

能力提升

一、选择题

1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是(　　)

A．－y2＝1  B．x2－＝1

C．－＝1  D．－＝1

[答案]　B

[解析]　由条件知P(，4)在双曲线－＝1上，∴－＝1，

又a2＋b2＝5，∴，故选B．

2．(2015·广州市检测)设F1、F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)

A．4  B．8

C．24  D．48

[答案]　C

[解析]　由3|PF1|＝4|PF2|知|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴|F1F2|＝10，

∴△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.

3．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为(　　)

A．x2－＝1(x<－1)  B．x2－＝1(x>1)

C．x2＋＝1(x>0)  D．x2－＝1(x>1)

[答案]　B

[解析]　定义法：如图，|PM|－|PN|＝|BM|－|BN|＝2，P点的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．

4．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

[答案]　B

[解析]　在△PF1F2中，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，

即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，

解得|PF1|·|PF2|＝4.

二、填空题

5．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________.

[答案]　(－∞，－2)

[解析]　由题意，方程可化为－＝3，

∴，解得m<－2.

6．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且·＝0，则点M到x轴的距离为________.

[答案]　

[解析]　由条件知c＝，∴|F1F2|＝2，

∵·＝0，∴|MO|＝|F1F2|＝，

设M(x0，y0)，则，

∴y＝，∴y0＝±.

故所求距离为.

三、解答题

7．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．

[解析]　椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，

由题意，设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，

又点A(x0,4)在椭圆＋＝1上，∴x＝15，

又点A在双曲线－＝1上，∴－＝1，

又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，

所求的双曲线方程为：－＝1.

8.当0°≤α≤180°时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线如何变化？

[解析]　(1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.

(2)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.

①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆．

②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝.

③当45<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．

(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝±1.

(4)当90°<α<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．

(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．