2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案16

2022届新教材北师大版  导数及 其运用     单元测试

一、选择题

1、
已知函数的图像在点处的切线的斜率为2，则的最小值是

A． 10    B． 9    C． 8    D．

2、物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为(　　)

A．t＝1    B．t＝2

C．t＝3    D．t＝4

3、

直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为(　　)

A．1    B．2    C．5    D．－1

4、若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

5、函数上点处的切线方程为（    ）

A．               B．

C．              D．

6、函数存在两个不同零点，，函数存在两个不同零点，，且满足，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

7、已知抛物线在点处与直线相切，则的值为（　　）

A．20 B．9 C． D．2

8、在平面直角坐标系中，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l与曲线相切，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

9、如果曲线在点处的切线垂直于直线，那么点的坐标为（   ）

A.     B.     C.     D.

10、，其中（     ）

（A）恒取正值或恒取负值      （B）有时可以取0

（C）恒取正值                （D）可以取正值和负值，但不能取0

11、已知，，直线与函数，的图象都相切，且与图象的切点为，则的值为(  )

A. B. C. D.

12、已知函数的图像如图所示，的导函数，则下列数值排序正确的

A. 

B.

C.  

D.

二、填空题

13、已知函数的导函数为，且满足，则__________．

14、设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为__________．

15、曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线与曲线y＝ax＋ln x相切，则a＝________．

16、点在函数的图像上，则该函数在点处的切线方程为____________.

三、解答题

17、（本小题满分10分）生产某种产品q个单位时成本函数为C(q)＝200＋0.05q2，求：

(1)生产90个单位该产品时的平均成本；

(2)生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；

(3)生产第100个单位该产品时，成本的变化率．

18、（本小题满分12分）已知函数,其中,

(1)若m = – 2,求在(2,–3)处的切线方程;

(2)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 m,求m的取值范围.

19、（本小题满分12分） 已知，．

（Ⅰ）设，求函数的图像在处的切线方程；

（Ⅱ）求证：对任意的恒成立；

20、（本小题满分12分）求函数y＝在x0(x0>－1)处的导数．

参考答案

1、答案B

解析 由函数，所以，

 由函数的图象在点处的切线斜率为，所以，

 所以 （当且仅当，即时等号成立）

所以的最小值为，故选B.
 

2、答案B.

解析Δs＝－4(t＋d)2＋16(t＋d)－(－4t2＋16t)

＝16d－8td－4d2.

又因为某时刻的瞬时速度为零．

所以当d趋于0时＝16－8t＝0，解得t＝2.

3、答案A

解析

分析

先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解．

详解

由题意得，y′=3x2+a，

∴k=3+a         ①

∵切点为A（1，3），

∴3=k+1         ②

4、答案B

解析利用构造方程组的方法求得，可求得切点坐标；利用导数求得切线的斜率，利用直线点斜式求出切线方程.

详解

①

②

联立①②，解得：，则

，

切线方程为：，即

本题正确选项：

点睛

本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.

5、答案B

解析

6、答案A

解析求导根据有两个零点得到；再根据二次函数有两个解得到，根据零点的大小关系得到，消元得到，构造函数计算得到答案.

详解

，

当时，恒成立，单调递增，最多有一个零点，不满足

当时，在上单调递增，上单调递减

满足，解得

综上所述：

函数存在两个不同零点，则或

故

零点满足，则且

又因为，代换得到

考虑函数，验证知，，

在上单调递增，上单调递减

故，解得

此时，，满足

综上所述：

点睛

本题考查了函数的零点问题，综合性强，计算量大，通过消元得到函数是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.

7、答案C

解析根据在处的导数值为和点在抛物线上可构造方程解得，从而作和得到结果.

详解

由题意得：    ，解得：

又，解得：

本题正确选项：

点睛

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数几何意义的应用.

8、答案D

解析采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果.

详解

①当直线l过原点时，

设直线l的方程为，

设切点坐标为

有，解得，

此时直线l的方程为；

②当直线l不过原点时，此时直线的斜率为1，

若切点为，可得，，

此时直线l的方程为；

由①②知直线l的方程

为或.

故选：D

点睛

本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.

9、答案A

详解：设点P(a,b)，则，

由题得，

因为曲线在点处的切线垂直于直线，

所以，所以a=1.

所以b=,所以点P的坐标为（1,0）.

故答案为：A.

点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是

10、答案D

解析

11、答案A

解析先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.

详解

，

直线是函数的图象在点处的切线，

其斜率为（1），

直线的方程为．

又因为直线与的图象相切，

，消去，可得，

得△不合题意，舍去），

故选：A

点睛

本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平和分析推理能力.

12、答案C

解析由导数的几何意义可知，导数值等于该点处的斜线斜率，结合图像可知成立

考点：导数的几何意义

13、答案-1.

详解：因为，所以

所以

因此，

点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.

14、答案

解析由在点处的切线方程为,可得切点为,所以,又,所以曲线在点处的切线方程为,即,故填.

15、答案0

解析通过求导数得y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线，再直线与曲线相切于点，求导可得，解方程组即可得解.

详解

由得，

∴当时，，

则曲线在点处的切线方程为，即，

设直线与曲线相切于点，

由得，

∴，解之得，，.

∴.

答案：0.

点睛

本题考查导数几何意义的应用，解答此类问题的关键是求出切点坐标．若切点已知，则直接求导即可得切线的斜率，若切点未知，在解题时首先要设出切点，然后根据切点在曲线上及导数的几何意义得到关于切点坐标的方程，求出切点坐标后可得切线方程．

16、答案

解析

17、答案（1）9.5；（2）10.

 (2)平均变化率=（成本变化）（产品数量变化），即平均变化率=

(3)成本的变化率=，生产第100个单位该产品的成本变化率即求，利用导数的定义式即可求出答案

详解

(1)平均成本为≈6.72.

(2)ΔC＝200＋0.05×1002－200－0.05×902＝

0.05×(1002－902)＝0.05×1900＝95，

所以平均变化率为＝9.5.

(3)C′(100)＝＝

＝

＝0.05(200＋Δq)＝10.

点睛

本题主要考察导数的实际应用，难点在于理解题意，列出函数方程，并依据题意进行求导即可，属于中等题.

解析

18、答案(1)易知又过(2,-3),.

(2) 由已知得,即

又所以

即①

设,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,

所以解之得

又,所以,即的取值范围为.

解析

19、答案解：（1），，则 ，∴图像在处的切线方程为即    3分

（2）令，          4分

则

∵与同号  ∴  ∴

∴  ∴在单调递增                                 6分

又，∴当时，；当时，

∴在单调递减，在单调递增  ∴

∴  即对任意的恒成立 

解析

令f(x)＝，则f′(x0)＝

然后，运算即可

详解

令f(x)＝，则f′(x0)＝

＝＝

＝＝.

点睛

本题主要考察导数的定义和极限的运算，本题的难点在于，要化成可以求极限的形态，所以，本题对分式做了处理，属于中等题

解析