北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式第2课时导学案

第2课时　等比数列的概念及其通项公式(二)

[教材要点]

要点　等比中项

如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成________数列，那么称G＝________为a，b的等比中项．

状元随笔　(1)若G是a与b的等比中项，则＝，所以G2＝ab，G＝±.

(2)等比中项与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项．

(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若G是a与b的等比中项，则G＝.(　　)

(2)若a，G，b满足G2＝ab，则a，G，b一定是等比数列．(　　)

(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　　)

(4)等比数列{an}中，a1，a4，a7，a10，…仍然是等比数列．(　　)

2．若三个正数1，b，16成等比数列，则b的值为(　　)

A．－4　　　B．4

C．8    D．±4

3．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为(　　)

A．4    B．8

C．36   D．32

4．若三个数3－，x，3＋成等比数列，则x＝________.

题型一　等比中项

例1　(1)(多选题)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项可能是(　　)

A．－    B．

C．－4    D．4

(2)在两个数a，b(ab>0)之间插入三个数，使它们成等比数列，则正中间的一个数是________．

方法归纳

应用等比中项解题策略

(1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示；

(2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要考虑与项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同．

跟踪训练1　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)

A．b＝3，ac＝9    B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9    D．b＝－3，ac＝－9

题型二　等比数列的性质应用

例2　已知{an}为等比数列．

(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a5；

(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；

(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．

方法归纳

运用等比数列性质计算的策略

运用等比数列的性质，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq；特别地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)则＝”，这样大大的简化了运算，因此在解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项序号之间的关系，以寻求满足数列性质的条件．

跟踪训练2　(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.

(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.

题型三　等比数列的实际应用

例3　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．

(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；

(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？

方法归纳

等比数列应用题的两种常见类型

(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．

(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决．

跟踪训练3　一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．

易错辨析　忽略等比数列各项的符号规律致错

例4　在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　)

A．9或－9    B．9

C．27或－27    D．－27

解析：由等比中项的性质得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a7＝9，故选B.

答案：B

【易错警示】

[课堂十分钟]

1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，则a5为(　　)

A．4    B．6

C．±6    D．±4

2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　)

A．±    B．－

C． D．±

3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　)

A．32    B．64

C．256    D．±64

4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________.

5．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5与a7的等比中项．

第2课时　等比数列的概念及其通项公式(二)

新知初探·课前预习

要点

等比　±

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．解析：由等比中项知b2＝16，又b>0，∴b＝4.

故选B.

答案：B

3．解析：∵{an}是等比数列，∴a2a6＝＝36.

故选C.

答案：C

4．解析：由等比中项知：x2＝(3－)(3＋)＝4.

∴x＝±2.

答案：±2

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)由题意知an＝·2n－1＝2n－4>0

∴a4＝1，a8＝16

∴a4·a8＝16

∴a4与a8的等比中项是±4.

故选CD.

(2)由题意知，所求的中间项是a与b的等比中项，

设此数为G，则G2＝ab，故G＝±.

答案：(1)CD　(2)或－

跟踪训练1　解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，

∴b2＝(－1)×(－9)＝9

∵b<0，∴b＝－3.

又∵b2＝ac，∴ac＝9.故选B.

答案：B

题型二

例2　解析：(1)在等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以＝a1a5＝a2a4＝，所以a5＝.

(2)根据等比中项，化简条件得

＝25，即(a3＋a5)2＝25，

∵an>0，∴a3＋a5＝5.

(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，

∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)

＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]

＝log395＝10.

跟踪训练2　解析：(1)法一：相除得q8＝9.

所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.

法二：因为＝a3a11＝81，所以a7＝±9，

又因为a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.

(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，

所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.

所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.

题型三

例3　解析：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，

由题意得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，

a3＝10(1－10%)2，….

由等比数列定义知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，

所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1.

所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元．

(2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1

＝7.29 (万元)．

所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元．

跟踪训练3　解析：由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．

答案：45

[课堂十分钟]

1．解析：∵等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，

a3a7，a5

故选B.

答案：B

2．解析：根据等比数列的性质可知a1a5＝.故选C.

答案：C

3．解析：由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝＝a1a99＝16，又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.故选B.

答案：B

4．解析：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25.

答案：25

5．解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1，

因为a2－a5＝42，所以q≠1，

由已知得，

所以

因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，

所以由②除以①，得q(1－q)＝.

所以q＝.

所以a1＝＝96.

若G是a5，a7的等比中项，

则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×＝9，

所以a5与a7的等比中项为±3.