北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 瞬时变化率复习练习题

【精品】1.2 瞬时变化率作业练习

一．填空题

1．已知，则曲线在点处的切线方程是______.

2．曲线在处的切线方程是________.

3．函数在处的切线方程为_________

4．曲线在点（1，）处的切线方程为______．

5．函数的图象在处的切线方程为，则________.

6．已知函数（为自然对数的底数），则在处的切线方程为_______.

7．曲线在点处的切线的方程为_______.

8．曲线在点处的切线方程为_______．

9．设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，的面积的取值范围是________.

10．若点M在函数的图象上，点N在直线上，则线段长的最小值为__________．

11．曲线在点处的切线方程为_____________

12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.

13．曲线在点处的切线方程是________.

14．曲线在处的切线方程为______．

15．设曲线在点处的切线方程为，则______.

16．已知直线与曲线相切，则_______.

17．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t．

18．在平面直角坐标系中，过点的一条直线与函数的图像交于两点，则线段长的最小值是__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求得所求切线的斜率为，利用点斜式可求得所求切线的方程.

详解：，则，，

因此，所求切线的方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

2．【答案】

【解析】分析：求出函数的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可.

详解：解：由函数知，

把代入得到切线的斜率

则切线方程为：，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题．

3．【答案】

【解析】分析：首先求函数的导数，然后利用导数的几何意义求切线方程.

详解：求导得，得，切点为，

所以切线方程为:，化简为：.

故答案为:.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，重点考查计算能力，属于基础题型.

4．【答案】

【解析】分析：先求出切线的斜率和切点，再利用点斜式写出直线的方程.

详解：由题得，

∴，又，

∴由点斜式得切线方程为，

即．

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：根据导数的几何意义可得，根据切点在且线上可得.

详解：因为切线的斜率为，所以，

又切点在切线上，所以，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，属于基础题.

6．【答案】

【解析】分析：首先对函数求导，求得，，之后利用点斜式求得直线的方程，得到结果.

详解：∵，

∴；

知，，

故可得切线方程为.

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求函数图象在某个点处的切线方程，属于简单题目.

7．【答案】.

【解析】分析：求得函数的导数，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，所以，

即所求切线的斜率为，

又由，所以所求切线的方程为，

可得，即.

所以所求切线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及曲线在某点处的切线方程的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

8．【答案】

【解析】分析：对求导可得，可得，再计算

，利用点斜式可写出直线的方程.

详解：因为，所以，所以切点为

因为，

所以，

所以在点处的切线方程为，

即，

故答案为：

9．【答案】

【解析】分析：因为，可确定分别在分段函数的两段上，设，且，通过导数可求得切线斜率；根据相互垂直可得到；通过的方程可求得两点坐标，从而得到；联立求得点横坐标，从而将面积表示为，根据可求得面积的取值范围.

详解：由题意可知，，且明显地，分别在分段函数的两段上

设，且   

，    ，即：

方程为：；方程为：

，   

联立可得点横坐标为：

且在上单调递减   

，即的面积的取值范围为：

本题正确结果：

【点睛】

关键点睛：解题的关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元，进而求解的问题；求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；难度属于困难

10．【答案】

【解析】分析：与直线平行的直线与函数的图象相切时的切点到直线的距离即线段的最小值，利用导数的几何意义求切点坐标，再代入公式求点到直线的距离.

详解：设曲线在处的切线l与直线平行，则，解得，所以，所以切点M的坐标为，所以切点到直线的距离，所以线段长的最小值为．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型.

11．【答案】

【解析】分析：求出导数，进而利用导数的几何意义求出所求切线的斜率，再求出即可写出切线的点斜式方程.

详解：，，

又，曲线在点处的切线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数求曲线的切线，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：先求出导数，求出即切线斜率，再求出，即可利用点斜式求出切线方程.

详解：，，又，

所以，曲线在处的切线方程为，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.

13．【答案】

【解析】分析：根据导数的几何意义先求解出切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程.

详解：，.又，所以切点坐标为.

所以曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查曲线在某点处的切线方程的求法，主要考查导数的几何意义，难度较易.

14．【答案】

【解析】分析：先对函数求导，求出切线斜率，进而可得切线方程.

详解：因为，所以，，因此，

因此所求切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查求曲线在某点的切线方程，属于基础题型.

15．【答案】3

【解析】分析：利用导数的几何意义即可求解.

详解：由，

则，

根据题意可得，即，

解得.

故答案为：3

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

16．【答案】

【解析】分析：设切点为，求出切线方程，利用切线方程就是可求得切点坐标和值．

详解：设切点为，，所以，又，解得，

故答案为：．

17．【答案】40.15

【解析】分析：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，求出水净化到纯净度为时所需费用函数的导数，即可算出结果．

详解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，

因为．

所以，

又因为，

所以净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是40.15元，

故答案为：40.15.

【点睛】

本题考查函数的导数的实际意义，考查学生的计算能力，比较基础．

18．【答案】

【解析】分析：设，得到当直线与函数过点的切线垂直时，线段最短，利用导数的几何意义求出切线的坐标，进而可求得答案.

详解：设，点为直线与函数在第一象限的焦点，则，

可得当直线与函数过点的切线垂直时，线段最短，

设切点，函数的导数为，

则，解得，

此时，

所以线段长的最小值为，

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，两点间的距离公司，以及两直线垂直的条件等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及运算与求解能力，属于中档试题.