人教版新课标A选修2-12.3双曲线测试题

这是一份人教版新课标A选修2-12.3双曲线测试题，共14页。试卷主要包含了如图,双曲线C，已知F为双曲线C，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

题组一 双曲线性质的简单应用
1.若双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值为( )
A.-14 B.-4 C.4 D.14
2.如图,双曲线C:x29-y210=1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
3.(2020浙江杭州高二期末)焦点在x轴上的双曲线,实轴长为6,焦距为10,则双曲线的标准方程是 .
4.已知F为双曲线C:x29-y216=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 .
题组二 双曲线的离心率
5.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则它的离心率为( )
A.43 B.53 C.2 D.3
6.(2020江西南昌高三月考)若双曲线x2-y2m=1的离心率e∈(1,3),则实数m的取值范围为( )
A.(0,4) B.(0,8) C.(1,9) D.(8,+∞)
7.设F1和F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 .
8.(2020浙江温州平阳中学高三一模)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1(-2,0),点A(0,5),点P为双曲线右支上的动点,且△APF1周长的最小值为8,则双曲线的实轴长为 ,离心率为 .
题组三 双曲线的渐近线及其应用
9.(2020河南高三模拟)双曲线y24-x2m=1的离心率为32,则其渐近线方程是( )
A.y=±54x B.y=±45x
C.y=±52x D.y=±255x
10.(2020湖北武汉武昌高三二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为8,一条渐近线方程为y=3x,则C的方程为( )
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x216-y248=1 D.x248-y216=1
11.(2020上海交大附中高三月考)设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF1|-|PF2|=35|F1F2|,则该双曲线的渐近线方程为 .
题组四 直线与双曲线的位置关系
12.直线x+y=1与双曲线4x2-y2=1相交所得弦长为( )
A.143 B.2143 C.273 D.7
13.已知双曲线x2-y24=1,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,这样的直线l共有( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
14.已知双曲线C1:x2-y24=1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,3)的双曲线C2的标准方程;
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当OA·OB=3时,求实数m的值.
能力提升练
一、选择题
1.(2020湖北黄冈中学高三模拟,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点A45,25,则双曲线C的方程为( )
A.x2-y24=1 B.x24-y2=1
C.x28-y22=1 D.x22-y28=1
2.(2020广东汕尾高二期末,)已知O为坐标原点,点F是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F且倾斜角为120°的直线与双曲线C在第一象限交于点P,若△POF为正三角形,则双曲线C的离心率为( )
A.5+1 B.53 C.3+1 D.54
3.(2020安徽师范大学附属中学高三月考,)双曲线C:x2a2-y236=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M在C上,且|MF2|=14,则|MF1|=( )
A.6或30 B.6 C.30 D.6或20
4.(2020湖南常德高二期末,)已知F1,F2为双曲线的焦点,过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A,B两点,BF1交虚轴于点C,若|AC+BF1|=|AC-BF1|,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C.22 D.23
二、填空题
5.(2020山东德州高三一模,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若F2到渐近线的距离是3,则b为 ;
(2)若P为双曲线C右支上一点,∠F1PF2=60°且∠F1PF2的平分线与x轴的交点为Q,满足F1Q=2QF2,则双曲线C的离心率为 .
6.(2020河北衡水高三月考,)小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支,如图,O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知,该双曲线的渐近线相互垂直,且AB与OC垂直,AB=80 cm,OC=20 cm,若该双曲线的焦点位于直线OC上,则在点O以下的焦点距点O cm.
三、解答题
7.()已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点为F(-2,0).
(1)求双曲线的方程;
(2)设Q是双曲线上一点,且过点F,Q的直线l与y轴交于点M.若|MQ|=2|QF|,求直线l的方程.
8.(2020湖北荆州沙市中学高二期末,)已知双曲线C的焦点在y轴上,虚轴长为4,且与双曲线x24-y23=1有相同的渐近线.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点M(2,0)的直线l与双曲线的异支相交于A、B两点,若S△AOB=415,求直线l的方程.
答案全解全析
基础过关练
1.A 双曲线方程化为标准形式为y2-x2-1m=1,则有a2=1,b2=-1m.由题设知,2=-1m,∴m=-14.
2.C 设F2为双曲线的右焦点,连接P2F2,
由双曲线的对称性,知|P1F1|=|P2F2|,
∴|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6.
3.答案 x29-y216=1
解析 双曲线的焦点在x轴上,
∴可设所求方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),半焦距为c.
又实轴长为6,焦距为10,∴2a=6,2c=10,
解得a=3,c=5,∴b2=c2-a2=16.
故双曲线的标准方程为x29-y216=1.
4.答案 44
解析 由双曲线C的方程,知a=3,b=4,c=5,∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点,且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16.
由双曲线的定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,
∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,
∴△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.
5.B 设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则2×2b=2a+2c,即b=a+c2.又b2=c2-a2,则a+c22=c2-a2,所以3c2-2ac-5a2=0,即3e2-2e-5=0,又e>1,所以e=53.故选B.
6.B 由已知得,m>0,双曲线x2-y2m=1的离心率e∈(1,3),又e=1+m,则1<1+m<3,化简得07.答案 2
解析 由题设条件可得,2bc=3,所以b2c2=34,所以c2-a2c2=1-a2c2=1-1e2=34,所以e=2(负值舍去).
8.答案 2;2
解析 设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2,则F2(2,0).
△APF1的周长=|PF1|+|PA|+|AF1|=|PF2|+2a+|PA|+3≥|AF2|+2a+3=6+2a=8,当且仅当A、P、F2共线时,等号成立,故a=1.所以实轴长2a=2,e=ca=2.
9.D 由双曲线y24-x2m=1,得a=2,b=m,所以c=4+m.
因为离心率为32,所以ca=4+m2=32, 解得m=5.
所以双曲线方程为y24-x25=1.所以渐近线方程为y=±abx=±25x=±255x,故选D.
10.A 由题意得,2c=8,则c=4.
又ba=3,且a2+b2=c2,∴a2=4,b2=12.
∴双曲线C的方程为x24-y212=1.故选A.
11.答案 y=±43x
解析 ∵|PF1|-|PF2|=35|F1F2|,
∴2a=35·2c,∴a=35c,
又c2=a2+b2,∴b=45c,∴ba=43,
则渐近线方程为y=±43x.
12.B 联立x+y=1,4x2-y2=1,得3x2+2x-2=0.
设直线与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-23,x1x2=-23,
∴|AB|=1+k2|x1-x2|
=2·(x1+x2)2-4x1x2
=2143.
13.B 因为双曲线方程为x2-y24=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线与双曲线只有一个公共点.过P(1,0)且和两条渐近线平行的直线也满足条件,这样的直线有2条.所以符合要求的直线l共有3条,故选B.
14.解析 (1)双曲线C1的焦点坐标为(5,0),(-5,0),
设双曲线C2的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
则a2+b2=5,16a2-3b2=1,解得a2=4,b2=1,
所以双曲线C2的标准方程为x24-y2=1.
(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.
设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).
由x2-y24=0,y=x+m,消去y得3x2-2mx-m2=0,
由Δ=(-2m)2-4×3×(-m2)=16m2>0,得m≠0.
所以x1x2=-m23,所以OA·OB=x1x2+(2x1)(-2x2)=-3x1x2=m2,所以m2=3,解得m=±3.
能力提升练
一、选择题
1.B 由题意得|OA|=452+252=2,且OA⊥AF,ba=2545=12,
所以tan∠AOF=ba=12,
所以cs∠AOF=25,
所以 |OF|·cs∠AOF=|OA|,即c·25=2,得c=5.
因为c2=a2+b2,所以a2=4,b2=1,
所以双曲线方程为x24-y2=1,故选B.
2.C 设双曲线的左焦点为F1,连接PF1.由△POF为正三角形,且F(c,0),得|OP|=c.又|PO|=12|F1F|,所以PF1⊥PF,所以|PF1|=3c.
根据双曲线的定义可知2a=|PF1|-|PF|=(3-1)c,
所以离心率e=ca=23-1=3+1.故选C.
3.C 由双曲线C:x2a2-y236=1(a>0)的一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,可得6a=34,解得a=8.
因为点M在C上,|MF2|=14<2a=16,
所以M在双曲线的右支上,
则|MF1|=2a+|MF2|=30.故选C.
4.B 设O为坐标原点,由题意得OC∥AB,
∵O是F1F2的中点,∴C为F1B的中点.
∵|AC+BF1|=|AC-BF1|,
∴|AC+BF1|2=|AC-BF1|2,即4AC·BF1=0,∴AC⊥BF1,∴|AF1|=|AB|,
又由双曲线的对称性,知|AF1|=|BF1|,
∴△ABF1为等边三角形.在Rt△AF1F2中,
|F1F2|=2c,∠AF1F2=30°,
∴|AF2|=233c,|AF1|=433c,又||AF2|-|AF1||=2a=233c,∴e=3.
二、填空题
5.答案 (1)3 (2)3
解析 (1)不妨设渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,F2(c,0)到渐近线的距离为bca2+b2=3,所以b=3.
(2)F1Q=2QF2,则|PF1|=2|PF2|,又|PF1|-|PF2|=2a,故|PF1|=4a,|PF2|=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理,得4c2=4a2+16a2-2×4a·2acs 60°,整理得c2=3a2,故e=3.
6.答案 30(2-1)
信息提取 ①双曲线的渐近线相互垂直,且AB与OC垂直;②AB=80 cm,OC=20 cm;③双曲线的焦点位于直线OC上.
数学建模 以壁灯的光线的边界为情境,构建双曲线模型,利用双曲线模型解决求值问题,将生活场景抽象为数学问题.由渐近线相互垂直,可得a=b,再根据条件求出a,b,c,进而可得结果.
解析 设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
因为渐近线相互垂直,所以a=b.
由题意知,(a+20)2a2-402b2=1,
解得a=b=30,c=302,
故在点O以下的焦点距点O 30(2-1)cm.
三、解答题
7.解析 (1)由题意可设所求双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
∵ca=2,c=2,∴a=1,∴b=3,
∴所求双曲线的方程为x2-y23=1.
(2)∵直线l与y轴相交于点M且过焦点F(-2,0),∴l的斜率一定存在,设为k,
则直线l:y=k(x+2).
令x=0,得M(0,2k).
∵|MQ|=2|QF|且M,Q,F共线于直线l,
∴MQ=2QF或MQ=-2QF.设点Q(xQ,yQ).
当MQ=2QF时,xQ=-43,yQ=23k,
∴Q-43,23k.
∵点Q在双曲线x2-y23=1上,
∴169-4k227=1,∴k=±212.
当MQ=-2QF时,同理求得Q(-4,-2k),代入双曲线方程,得16-4k23=1,∴k=±352.
故所求的直线l的方程为y=±212(x+2)或y=±352(x+2).
8.解析 (1)∵双曲线C与双曲线x24-y23=1有相同的渐近线,∴设双曲线C的方程为x24-y23=λ(λ≠0),即x24λ-y23λ=1.
∵焦点在y轴上,虚轴长为4,
∴-4λ=4,解得λ=-1.
故双曲线C的方程为y23-x24=1.
(2)由题意知直线斜率不为0,
设直线方程为x=my+2,
联立y23-x24=1,x=my+2,消去x,得(4-3m2)y2-12my-24=0.
∵直线l与双曲线的异支相交于A、B两点,
∴Δ=144m2+96(4-3m2)>0,即m2<83.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=12m4-3m2,y1y2=-244-3m2,且y1y2=-244-3m2<0,即4-3m2>0.
S△AOB=S△AOM+S△BOM=12×2×|y1-y2|
=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2
=(12m)2(4-3m2)2+964-3m2=415,
∴(12m)2(4-3m2)2+964-3m2=16×15,
化简得8-3m2=5(4-3m2)2,
∴4+4-3m2=5(4-3m2)2.
令t=4-3m2,则5t2-t-4=0,解得t=1或t=-45.由4-3m2>0,知t=-45不符合题意,
∴t=1,即4-3m2=1,解得m=±1,
此时m2=1满足Δ>0.
故所求直线方程为x-y-2=0或x+y-2=0.