- 专题22.6 二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象与性质(知识讲解)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版) 其他 4 次下载
- 专题22.7 二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象与性质(专项练习)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版) 试卷 7 次下载
- 专题22.9 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质(专项练习)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版) 试卷 8 次下载
- 专题22.10 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质(知识讲解1)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版) 其他 5 次下载
- 专题22.11 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质(知识讲解2)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版) 其他 5 次下载
专题22.8 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质(知识讲解)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
展开专题22.8 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质(知识讲解)
【学习目标】
- 会用描点法画出二次函数(a、h、k常数,a≠0)的图象.掌握抛物线与图象之间的关系;
- 熟练掌握函数的有关性质,并能用函数的性质解决一些实际问题;
3.经历探索的图象及性质的过程,体验与、、之间的转化过程,深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法.
【要点梳理】
要点一、函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 性质 |
向上 | x=h | 时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值. | ||
向下 | x=h | 时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值. |
2.函数的图象与性质
的符号 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 性质 |
向上 | x=h | 时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值. | ||
向下 | x=h | 时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值. |
特别说明:二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起,借助它的图象与性质.运用数形结合、函数、方程思想解决问题.
2.性质:
要点二、二次函数的平移
1.平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2.平移规律:
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.
特别说明:
⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿x轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)
【典型例题】
1.已知二次函数经过点,且当时,函数有最大值4.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直接写出一个与该函数图象开口方向相反,形状相同,且经过点的二次函数解析式.
【答案】(1);(2)
【分析】(1)设顶点式为y=a(x−1)2+4,然后把(0,3)代入求出a即可;
(2)利用二次函数的性质,抛物线解析式为可设为y=(x−1)2+h,然后把(0,3)代入求出h解:(1)设抛物线解析式为y=a(x−1)2+4,
把(0,3)代入得a(0−1)2+4=3,
解得a=−1,
所以抛物线解析式为y=−(x−1)2+4;
(2)设抛物线解析式为y=(x−1)2+h,
把(0,3)代入得1+h=3,解得h=2,
所以满足条件的一个抛物线解析式为y=(x−1)2+2.
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解.也考查了二次函数的性质和二次函数图象上的坐标特征.
举一反三:
【变式1】 已知函数是二次函数.
(1)求m的值;
(2)求这个二次函数的解析式,并指出开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】(1)-3;(2),开口方向向下,对称轴是直线,顶点坐标是(-2,-5)
【分析】(1)根据二次函数的概念,二次项次数为2,可以求出m的值,再结合二次项系数不等于0,即可最终确定m的值;(2)将m代入解析式中,即可得到二次函数的顶点式,根据a的正负,对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为(-h,k),即可解决本题.
解:(1)∵
∴
∵
∴m≠3
∴
(2)将m=-3代入解析式中,得二次函数的解析式为
∵a=-6<0
∴开口方向向下
∴对称轴是直线,顶点坐标是(-2,-5).
【点拨】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式,熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键.
【变式2】已知二次函数y=-x2+4x.
(1)用配方法把该二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)求这个函数图象与x轴的交点的坐标.
【答案】(1)对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,4);(2)(0,0),(4,0)
【解析】试题分析:(1)先将二次函数的表达式化为顶点式,然后写出对称轴与顶点坐标即可.
(2)令 ,然后解一元二次方程即可.
试题解析:(1) y=-(x-2)2+4,其对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,4).
(2)令y=0,则-x2+4x=0,∴x1=0,x2=4,∴这个函数图象与x轴的交点的坐标为(0,0),(4,0).
【变式3】 已知抛物线,当时,有最大值,且抛物线过点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当y随x的增大而增大时,求x的取值范围;
(3)求抛物线与y轴的交点坐标.
【答案】(1);(2)x的取值范围为;(3)抛物线与y轴的交点坐标为.
【分析】(1)根据题意可设抛物线的解析式为,把点代入即可求解;(2)根据函数的对称轴即可求解;(3)令x=0,即可求解.
解:(1)∵抛物线,当时,有最大值,
∴抛物线的解析式为.
∵抛物线过点,∴,∴.
∴此抛物线的解析式.
(2)∵抛物线的对称轴为直线,且抛物线开口向下,
∴当时,y随x的增大而增大.
∴x的取值范围为.
(3)当时,,
∴抛物线与y轴的交点坐标为.
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质,解题的关键是熟知对称轴的应用.
2.已知二次函数,求顶点坐标,小明的计算结果与其他同学的不同,小明的计算过程:
……①;
……②;
……③;
顶点坐标是……④;
(1)请你帮他检查一个,在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是________________步.
(2)请写出此题正确的求顶点的计算过程.
【答案】(1)①;(2)见详解
【分析】(1)根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式的步骤,即可得到答案;(2)利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式,即可得到答案.
解:(1)y=0.5x2−x−0.5
=0.5(x2−2x)−0.5 ①
=0.5(x2−2x+1−1)−0.5 ②
=0.5(x−1)2−1③
∴顶点坐标是(1,−1)④;
故答案为:①;
(2)y=0.5x2−x−0.5
=0.5(x2−2x)−0.5
=0.5(x2−2x+1−1)−0.5
=0.5(x−1)2−1
∴顶点坐标是(1,−1).
【点拨】此题考查二次函数的顶点式,二次函数解析式的三种形式有:顶点式;两根式以及一般式,掌握配方法,是解题的关键.
举一反三:
【变式1】确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(1); (2).
【答案】(1)抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为;(2)抛物线开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为.
【分析】(1)已知抛物线解析式为顶点式,可根据顶点式求抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标;
(2)已知抛物线解析式为顶点式,可根据顶点式求抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标.
解:(1)由可知,二次项系数为,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为;
(2)由可知,二次项系数为,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为.
【点拨】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系,根据二次项系数的符号确定开口方向,根据顶点式确定顶点坐标及对称轴.
3、把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,平移后抛物线的解析式为____________.
【答案】或(答出这两种形式中任意一种均得分)
【分析】直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答.
解: 由“左加右减”的原则可知,将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为:y=2(x+1)2,即y=2(x+1)2;由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=2(x+1)2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为:y=2(x+1)2﹣2,即y=2(x+1)2﹣2.
故答案为y=2(x+1)2﹣2.
考点:二次函数图象与几何变换.
【变式1】 抛物线y=3(x-2)2的开口方向是______,顶点坐标为______,对称轴是______.当x______时,y随x的增大而增大;当x=______时,y有最______值是______,它可以由抛物线y=3x2向______平移______个单位得到.
【答案】 向上 (2,0) 直线x= 2 ≥2 2 小 0 右 2.
解:抛物线y=3(x-2)2的开口方向是向上,顶点坐标为(2,0),对称轴是直线x= 2.
当x≥2时,y随x的增大而增大;
当x=2时,y有最小值是0,它可以由抛物线y=3x2向右平移2个单位得到.
故答案为:向上; (2,0); 直线x= 2;≥2 ;2;小; 0; 右;2.
【变式2】将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位,所得图象对应的函数表达式为________.
【答案】y=2x2+1
【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”,进而求出图象对应的函数表达式.
解:由二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位,因此所得图象对应的函数表达式为:.
【点拨】本题考查二次函数的平移,掌握平移规律是本题的解题关键.
4、一条抛物线经过点A(-2,0)且抛物线的顶点是(1,-3),求满足此条件的函数解析式.
【答案】
【分析】设抛物线为: 根据抛物线的顶点坐标求解,再把代入解析式可得答案.
解:设抛物线为:
抛物线的顶点是(1,-3),
抛物线为:
把代入抛物线得:
,
抛物线为:
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式,根据题意设出合适的抛物线的解析式是解题的关键.
5、将抛物线y=﹣2(x+1)2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______;
将抛物线y=﹣2(x+1)2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______.
【答案】y=2(x+1)2+1 y=2(x﹣1)2﹣1
解:(1)∵将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同,只有开口方向变了,
∴将抛物线y=﹣2(x+1)2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为:;
(2)∵抛物线绕原点旋转180°后,新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称,新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y轴对称,开口方向和原来开口方向相反,
∴将抛物线y=﹣2(x+1)2+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为:.
【点拨】(1)抛物线关于其顶点对称的抛物线的解析式为;
(2)抛物线关于原点对称的抛物线的解析式:.
举一反三:
【变式1】已知二次函数的顶点为且过点,求该函数解析式.
【答案】
【分析】由题意设抛物线的顶点式:,再把代入抛物线的解析式,解方程即可得到答案.
解:由顶点(-2,2),可设抛物线为:,
将点(-1,3)代入上式可得:
综上所述:.
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式,掌握根据题意设出合适的二次函数的表达式是解题的关键.
【变式2】 求符合下列条件的抛物线的函数关系式,(1)通过点(3,8);
(2)与的开口大小相同,方向相反。
【答案】;
【解析】
试题分析:(1)、将点(3,8)代入函数解析式求出a的值得出函数解析式;(2)、根据题意得出,从而得出函数解析式.
解:(1)、将(3,8)代入函数解析式可得:, 解得:a=2,
∴二次函数的解析式为:;
(2)、∵函数与的开口大小相同,方向相反, ∴,
∴二次函数的解析式为:.
【变式3】已知,如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(x﹣h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M.
(1)求直线l的函数解析式;
(2)若S△AMP=3,求抛物线的解析式.
【答案】(1)y=﹣x+4;(2)y=2(x﹣1)2.
【分析】(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式(2)抛物线的顶点坐标已知,设交点M的坐标,再根据S△AMP=3求出M的坐标,最后求出解析式.
解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b,
把A(4,0),B(0,4)分别代入解析式得
解得
解析式为y=﹣x+4.
(2)设M点的坐标为(m,n),
∵S△AMP=3,
∴(4﹣1)n=3,
解得,n=2,
把M(m,2)代入为2=﹣m+4得,m=2,
M(2,2),
∵抛物线y=a(x﹣h)2的顶点为P(1,0),
可得y=a(x﹣1)2,
把M(2,2)代入y=a(x﹣1)2得,2=a(2﹣1)2,解得a=2,函数解析式为y=2(x﹣1)2.
【点拨】此题重点考察学生对函数解析式的理解,熟练解析式的求法是解题的关键.
6、 A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨,C、D两地分别需要橘子30吨和70吨;已知从A、B到C、D的运价如表:
| 到C地 | 到D地 |
A果园 | 每吨15元 | 每吨12元 |
B果园 | 每吨10元 | 每吨9元 |
(1)若从A果园运到C地的橘子为x吨,则从A果园运到D地的橘子为____吨,从A果园将橘子运往D地的运输费用为____元;
(2)设总运费为y元,请你求出y关于的函数关系式;
(3)求总运输费用的最大值和最小值;
(4)若这批橘子在C地和D地进行再加工,经测算,全部橘子加工完毕后总成本为w元,且w=-(x-25)2+4360,则当x=___ 时,w有最 __ 值(填“大”或“小”).这个值是 ___ .
【答案】(1)(40-x),12(40-x);(2)y=2x+1050;(3)最大值为1110元,最小值为1050元;(4)25,大,4360
【分析】
(1)因为从A果园运到C地的橘子是x吨,剩下的都运往D地,所以运往D地的是(40-x)吨.运输费用=吨数×每吨的运费.
(2)总运费=从A运往C、D的费用+从B运往C、D的费用.
(3)总运费与x是一次函数关系,由于0≤x≤30,可计算出总运费的最大值和最小值.
(4)利用二次函数的性质,求出函数的最值.
解:(1)因为从A果园运到C地的橘子是x吨,那么从A果园运到D地的橘子为(40-x)吨,
从A运到D地的运费是12元每吨,所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12(40-x)吨.
故答案为:(40-x),12(40-x);
(2)从A果园运到C地x吨,运费为每吨15元;从A果园运到D地的橘子为(40-x)吨,运费为每吨12元;
从B果园运到C地(30-x)吨,运费为每吨10元;从B果园运到D地(30+x)吨,运费为 每 吨9元;
所以总运费为:y=15x+12(40-x)+10(30-x)+9(30+x)
=2x+1050;
(3)因为总运费y =2x+1050,
∵,
∴函数值随x的增大而增大,
由于0≤x≤30,
∴当x=30时,有最大值2×30+1050=1110元,
当x=0时,有最小值2×0+1050=1050元;
(4)w=-(x-25)2+4360,
∵二次项系数-1<0,
∴抛物线开口向下,
当x=25时,w有最大值.最大值时4360.
故答案为:25,大,4360.
【点拨】本题考查了列代数式及函数的性质.利用一次函数的性质求出总运费的最大值和最小值,利用二次函数的性质求出总成本的最值.
举一反三:
【变式1】某商店以30元/千克的单价新进一批商品,经调查发现,在一段时间内,销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间为一次函数关系,如图所示.
(1)求与的函数解析式;
(2)要使销售利润达到最大,销售单价应定为每千克多少元?
【答案】(1);(2)65元
【分析】(1)设与的函数解析式为,把,代入,得 解得即可;
(2)设销售利润为元,先求出每件销售利润,再乘以销售量,根据题意, ,由,时,有最大值,最大值为1225.
解:(1)设与的函数解析式为,
把,代入,得,
解得,
∴与的函数解析式为;
(2)设销售利润为元,根据题意,得,
,
,
,
∵,
∴当时,有最大值,最大值为1225.
∴要使销售利润达到最大,销售单价应定为每千克65元.
【点拨】本题考查一次函数的解析式,列二次函数,利用配方法转化为顶点式,掌握一次函数的解析式的求法,列二次函数方法,会利用配方法将二次函数转化为顶点式,根据开口向下有最大值是解题关键.