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    专题22.8 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质(知识讲解)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
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    专题22.8 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质(知识讲解)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)

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    专题22.8 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质(知识讲解)

    【学习目标】

    1. 会用描点法画出二次函数(a、h、k常数,a≠0)的图象.掌握抛物线图象之间的关系;
    2. 熟练掌握函数的有关性质,并能用函数的性质解决一些实际问题;

    3.经历探索的图象及性质的过程,体验之间的转化过程,深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法.

    【要点梳理】

    要点一、函数与函数的图象与性质

    1.函数的图象与性质

    的符号

    开口方向

    顶点坐标

    对称轴

    性质

    向上

    x=h

    时,的增大而增大;时,的增大而减小;时,有最小值

    向下

    x=h

    时,的增大而减小;时,的增大而增大;时,有最大值

     

    2.函数的图象与性质

    的符号

    开口方向

    顶点坐标

    对称轴

    性质

    向上

    x=h

    时,的增大而增大;时,的增大而减小;时,有最小值

    向下

    x=h

    时,的增大而减小;时,的增大而增大;时,有最大值

    特别说明:二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起,借助它的图象与性质.运用数形结合、函数、方程思想解决问题.

    2.性质:

    要点二、二次函数的平移

    1.平移步骤:

    ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标

    ⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:

    2.平移规律:

        在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.

    特别说明

    沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成

    (或

    沿x轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或

     【典型例题】

     1.已知二次函数经过点,且当时,函数有最大值4

    1)求二次函数的解析式;

    2)直接写出一个与该函数图象开口方向相反,形状相同,且经过点的二次函数解析式.

    【答案】1;(2

    【分析】(1)设顶点式为yax−124,然后把(03)代入求出a即可;

    2)利用二次函数的性质,抛物线解析式为可设为y=(x−12h,然后把(03)代入求出h解:1)设抛物线解析式为yax−124

    把(03)代入得a0−1243

    解得a−1

    所以抛物线解析式为yx−124

    2)设抛物线解析式为y=(x−12h

    把(03)代入得1h3,解得h2

    所以满足条件的一个抛物线解析式为y=(x−122

    点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解.也考查了二次函数的性质和二次函数图象上的坐标特征.

    举一反三:

    【变式1已知函数是二次函数.

    1)求m的值;

    2)求这个二次函数的解析式,并指出开口方向、对称轴和顶点坐标.

    【答案】1-3;(2,开口方向向下,对称轴是直线,顶点坐标是(-2-5

    【分析】(1)根据二次函数的概念,二次项次数为2,可以求出m的值,再结合二次项系数不等于0,即可最终确定m的值;(2)将m代入解析式中,即可得到二次函数的顶点式,根据a的正负,对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为(-hk),即可解决本题.

    解:(1

    ∴m≠3

    2)将m=-3代入解析式中,得二次函数的解析式为

    ∵a=-60

    开口方向向下

    对称轴是直线,顶点坐标是(-2-5).

    点拨】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式,熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键.

    【变式2已知二次函数y=-x24x.

    (1)用配方法把该二次函数化为ya(xh)2k的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标;

    (2)求这个函数图象与x轴的交点的坐标.

    【答案】(1)对称轴为直线x2,顶点坐标为(24);(2)(00)(40)

    【解析】试题分析:(1)先将二次函数的表达式化为顶点式,然后写出对称轴与顶点坐标即可.

    (2) ,然后解一元二次方程即可.

    试题解析:(1) y=-(x2)24,其对称轴为直线x2,顶点坐标为(24)

    (2)y0,则-x24x0x10x24这个函数图象与x轴的交点的坐标为(00)(40)

    【变式3已知抛物线,当时,有最大值,且抛物线过点

    1)求抛物线的解析式;

    2)当yx的增大而增大时,求x的取值范围;

    3)求抛物线与y轴的交点坐标.

    【答案】1;(2x的取值范围为;(3)抛物线y轴的交点坐标为

    【分析】(1)根据题意可设抛物线的解析式为,把点代入即可求解;(2)根据函数的对称轴即可求解;(3)令x=0,即可求解.

    解:1抛物线,当时,有最大值,

    抛物线的解析式为

    抛物线过点

    此抛物线的解析式

    2抛物线的对称轴为直线,且抛物线开口向下,

    时,yx的增大而增大.

    x的取值范围为

    3)当时,

    抛物线y轴的交点坐标为

    点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质,解题的关键是熟知对称轴的应用.

    2已知二次函数,求顶点坐标,小明的计算结果与其他同学的不同,小明的计算过程:

    ……①

    ……②

    ……③

    顶点坐标是……④

    1)请你帮他检查一个,在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是________________步.

    2)请写出此题正确的求顶点的计算过程.

    【答案】1;(2)见详解

    【分析】(1)根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式的步骤,即可得到答案;(2)利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式,即可得到答案.

    解:(1y0.5x2−x−0.5

    0.5x2−2x−0.5 ①

    0.5x2−2x1−1−0.5 ②

    0.5x−12−1③

    顶点坐标是(1−1

    故答案为:

    2y0.5x2−x−0.5

    0.5x2−2x−0.5

    0.5x2−2x1−1−0.5

    0.5x−12−1

    顶点坐标是(1−1).

    点拨】此题考查二次函数的顶点式,二次函数解析式的三种形式有:顶点式;两根式以及一般式,掌握配方法,是解题的关键.

    举一反三:

    【变式1】确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标.

    (1)                   (2).

    【答案】(1)抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为(2)抛物线开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为.

    【分析】(1)已知抛物线解析式为顶点式,可根据顶点式求抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标;

    2)已知抛物线解析式为顶点式,可根据顶点式求抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标.

    解:(1)可知,二次项系数为

    抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为

    (2)可知,二次项系数为

    抛物线开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为.

    点拨】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系,根据二次项系数的符号确定开口方向,根据顶点式确定顶点坐标及对称轴.

    3、把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,平移后抛物线的解析式为____________

    【答案】(答出这两种形式中任意一种均得分)

    【分析】直接根据上加下减,左加右减的原则进行解答.

    解: 左加右减的原则可知,将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为:y=2x+12,即y=2x+12;由上加下减的原则可知,将抛物线y=2x+12向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为:y=2x+12﹣2,即y=2x+12﹣2

    故答案为y=2x+12﹣2

    考点:二次函数图象与几何变换.

    【变式1】 抛物线y3(x2)2的开口方向是______,顶点坐标为______,对称轴是______.当x______时,yx的增大而增大;当x______时,y有最______值是______,它可以由抛物线y3x2______平移______个单位得到.

    【答案】  向上  (20)  直线x 2  ≥2  2    0    2

       解:抛物线y3x22的开口方向是向上,顶点坐标为(20),对称轴是直线x2

    x≥2时,yx的增大而增大;

    x2时,y有最小值是0,它可以由抛物线y3x2向右平移2个单位得到.

    故答案为:向上; (20); 直线x2≥2 2;小; 0; 右;2

    【变式2】将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位,所得图象对应的函数表达式为________

    【答案】y=2x2+1

    【分析】利用二次函数与几何变换规律上加下减,进而求出图象对应的函数表达式.

      解:由二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位,因此所得图象对应的函数表达式为:

    点拨】本题考查二次函数的平移,掌握平移规律是本题的解题关键.

    4、一条抛物线经过点A(-20)且抛物线的顶点是(1,-3),求满足此条件的函数解析式.

    【答案】

    【分析】设抛物线为: 根据抛物线的顶点坐标求解,再把代入解析式可得答案.

       解:设抛物线为:

    抛物线的顶点是(1,-3)

    抛物线为:

    代入抛物线得:

    抛物线为:

    点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式,根据题意设出合适的抛物线的解析式是解题的关键.

    5、将抛物线y=﹣2x+12+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______

    将抛物线y=﹣2x+12+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______

    【答案】y=2x+12+1    y=2x﹣12﹣1   

    解:1将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同,只有开口方向变了,

    将抛物线y=﹣2x+12+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为:

    2抛物线绕原点旋转180°后,新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称,新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y轴对称,开口方向和原来开口方向相反,

    将抛物线y=﹣2x+12+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为:.

    点拨】(1)抛物线关于其顶点对称的抛物线的解析式为

    2)抛物线关于原点对称的抛物线的解析式:.

    举一反三:

    【变式1】已知二次函数的顶点为且过点,求该函数解析式.

    【答案】

    【分析】由题意设抛物线的顶点式:,再把代入抛物线的解析式,解方程即可得到答案.

     解:由顶点(-22),可设抛物线为:

    将点(-13)代入上式可得:

    综上所述:

    点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式,掌握根据题意设出合适的二次函数的表达式是解题的关键.

    【变式2】 求符合下列条件的抛物线的函数关系式,(1)通过点(38);

    2)与的开口大小相同,方向相反。

    【答案】

    【解析】

    试题分析:(1)、将点(38)代入函数解析式求出a的值得出函数解析式;(2)、根据题意得出,从而得出函数解析式.

     解:(1)、将(38)代入函数解析式可得:  解得:a=2

    二次函数的解析式为:

    (2)函数与的开口大小相同,方向相反,   

    二次函数的解析式为:

    【变式3】已知,如图,直线l经过A40)和B04)两点,抛物线y=ax﹣h2的顶点为P10),直线l与抛物线的交点为M

    1)求直线l的函数解析式;

    2)若S△AMP=3,求抛物线的解析式.

    【答案】(1y=﹣x+4;(2y=2x﹣12

    【分析】(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式(2)抛物线的顶点坐标已知,设交点M的坐标,再根据S△AMP=3求出M的坐标,最后求出解析式.

    解:1)设一次函数解析式为y=kx+b

    A40),B04)分别代入解析式得

    解得

    解析式为y=﹣x+4

    2)设M点的坐标为(mn),

    ∵S△AMP=3

    4﹣1n=3

    解得,n=2

    Mm2)代入为2=﹣m+4得,m=2

    M22),

    抛物线y=ax﹣h2的顶点为P10),

    可得y=ax﹣12

    M22)代入y=ax﹣12得,2=a2﹣12,解得a=2,函数解析式为y=2x﹣12

    点拨】此题重点考察学生对函数解析式的理解,熟练解析式的求法是解题的关键.

     

    6、 AB两地果园分别有橘子40吨和60吨,CD两地分别需要橘子30吨和70吨;已知从ABCD的运价如表:

     

    C

    D

    A果园

    每吨15

    每吨12

    B果园

    每吨10

    每吨9

    1)若从A果园运到C地的橘子为x吨,则从A果园运到D地的橘子为____吨,从A果园将橘子运往D地的运输费用为____元;

    2)设总运费为y元,请你求出y关于的函数关系式;

    3)求总运输费用的最大值和最小值;

    4)若这批橘子在C地和D地进行再加工,经测算,全部橘子加工完毕后总成本为w元,且w=-(x-25)2+4360,则当x___ 时,w有最 __ 值(填).这个值是 ___

    【答案】1)(40-x),1240-x);(2y=2x+1050;(3)最大值为1110元,最小值为1050元;(425,大,4360

    【分析】

    1)因为从A果园运到C地的橘子是x吨,剩下的都运往D地,所以运往D地的是(40-x)吨.运输费用=吨数×每吨的运费.

    2)总运费=A运往CD的费用+B运往CD的费用.

    3)总运费与x是一次函数关系,由于0≤x≤30,可计算出总运费的最大值和最小值.

    4)利用二次函数的性质,求出函数的最值.

     解:(1)因为从A果园运到C地的橘子是x吨,那么从A果园运到D地的橘子为(40-x)吨,

    A运到D地的运费是12元每吨,所以A果园将橘子运往D地的运输费用为1240-x)吨.

    故答案为:(40-x),1240-x);

    2)从A果园运到Cx吨,运费为每吨15元;从A果园运到D地的橘子为(40-x)吨,运费为每吨12元;

    B果园运到C地(30-x)吨,运费为每吨10元;从B果园运到D地(30+x)吨,运费为    9元;

    所以总运费为:y=15x+1240-x+1030-x+930+x

    =2x+1050

    3)因为总运费y =2x+1050

    函数值随x的增大而增大,

    由于0≤x≤30

    x=30时,有最大值2×30+1050=1110元,

    x=0时,有最小值2×0+1050=1050元;

    4w=-(x-25)2+4360

    二次项系数-10

    抛物线开口向下,

    x=25时,w有最大值.最大值时4360

    故答案为:25,大,4360

    点拨】本题考查了列代数式及函数的性质.利用一次函数的性质求出总运费的最大值和最小值,利用二次函数的性质求出总成本的最值.

    举一反三:

    【变式1】某商店以30/千克的单价新进一批商品,经调查发现,在一段时间内,销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间为一次函数关系,如图所示.

    1)求的函数解析式;

    2)要使销售利润达到最大,销售单价应定为每千克多少元?

    【答案】1;(265

    【分析】(1)设的函数解析式为,把代入,得     解得即可;

    2)设销售利润为元,先求出每件销售利润,再乘以销售量,根据题意, ,由时,有最大值,最大值为1225

       解:(1)设的函数解析式为

    代入,得

    解得

    的函数解析式为

    2)设销售利润为元,根据题意,得,

    时,有最大值,最大值为1225

    要使销售利润达到最大,销售单价应定为每千克65元.

    点拨】本题考查一次函数的解析式,列二次函数,利用配方法转化为顶点式,掌握一次函数的解析式的求法,列二次函数方法,会利用配方法将二次函数转化为顶点式,根据开口向下有最大值是解题关键.

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        专题22.8 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质(知识讲解)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
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