专题22.6 二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题22.6  二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解）

【学习目标】

1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；

2．会用描点法画出二次函数的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；

3．掌握二次函数的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）.

【要点梳理】

要点一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质

1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象

（1）

（2）

2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质

关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：

3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.

的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.

特别说明：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．

    抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．

【典型例题】

类型一、

1．在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．

（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；

（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.

（1）解：如图：

，

与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，

与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；

（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；

不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．

【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.

举一反三：

【变式1】已知二次函数． 

求函数图象的对称轴和顶点坐标；

求这个函数图象与轴的交点坐标．

【答案】（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．

【解析】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；

（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．

试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，

对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）

（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，

∴图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．

考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．

【变式2】 已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象经过原点，当x＝1时，函数有最小值为－1.

(1)求这个二次函数的表达式，并画出图象；

(2)利用图象填空：这条抛物线的开口向____________，顶点坐标为____________，对称轴是直线____________，当____________时，y≤0.

【答案】（1）图形见解析；（2）上　(1，－1)　x＝1　0≤x≤2

【解析】

试题分析：（1）由于当x=１时，函数有最小值为－１，则可设顶点式为y=a（x+2）2-2，再把原点坐标代入求出a即可，然后利用描点法画抛物线；
（2）根据抛物线的性质可确定抛物线顶点坐标和对称轴方程即可．

试题解析：

(1)∵当x＝1时，函数有最小值为－1，

∴二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－1

.∵二次函数的图象经过原点，

∴(0－1)2·a－1＝0.∴a＝1

.∴二次函数的表达式为y＝(x－1)2－1.

函数如图所示：

(2)上，　(1，－1)，　x＝1，　0≤x≤2

类型二、

2．如图，在平面直角坐标系中，y轴上一点A（0,2），在x轴上有一动点B，连结AB，过B点作直线l⊥x轴，交AB的垂直平分线于点P(x,y)，在B点运动过程中，P点的运动轨迹是________,y关于x的函数解析式是________.

【答案】抛物线    y=x2+1   

【分析】当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C， 则四边形AOBC是矩形，由 P在AB的垂直平分线上可得PA=PB，进而可用y的代数式表示出PC、AP，在Rt△APC中根据勾股定理即可得出y与x的关系式；当点B在x轴的负半轴上时，用同样的方法求解即可.

解：当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C， 则四边形AOBC是矩形， 

∴AC=OB=x，BC=OA=2， 

∵P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=y，

在Rt△APC中，AC2+PC2=AP2，∴x2+(y−2)2=y2，整理得y=x2+1；

当点B在x轴的负半轴上时，如图2，同理可得y ，x满足的关系式是：y=x2+1， 

∴y ，x满足的关系式是：y=x2+1. 

故答案为：抛物线、y=x2+1.

【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理和求解图形中的二次函数关系式，难度不大，构建直角三角形、熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题关键.

举一反三：

【变式1】在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．

【答案】4

【分析】过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根据x的值即可求出PQ的最小值．

 解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，

∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，

∴H为CG中点，

∴PH=4，设CG=2x，

则CH=HG=EQ=x，QH=2x，

∴PQ===，

则当x=0时，PQ最小，且为4，

故答案为：4．

【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出PQ的长．

【变式2】请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与轴的交点坐标为.此二次函数的解析式可以是______________

【答案】

【分析】根据二次函数图像和性质得a0,c=3,即可设出解析式.

 解：根据题意可知a0,c=3,

故二次函数解析式可以是

【点拨】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.

【变式3】写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____．

【答案】y=x2+2，答案不唯一．

【分析】对称轴是y轴，即直线x=−=0，所以b=0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．

解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x=0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y=x2+2，答案不唯一.

故答案为y=x2+2.

【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.