人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案，共13页。学案主要包含了平移变换，伸缩变换等内容，欢迎下载使用。


知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1．将函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到函数y＝cs x的图象．( √ )
2．将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．( √ )
3．把函数y＝cs x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cs 3x的图象．( × )
一、平移变换
例1 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
解 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移eq \f(π,6)个单位长度而得到的．
反思感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位长度．
跟踪训练1 (1)要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
答案 C
解析 因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))，
所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，
就可得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象．
(2)为了得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象只需将函数y＝cs x的图象________________而得到．
答案 向右平移eq \f(π,6)个单位长度
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，
只需把y＝cs x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度即得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).
二、伸缩变换
例2 (1)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))图象上的横坐标进行怎样变换，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象( )
A．伸长了2倍 B．伸长了eq \f(1,2)倍
C．缩短了eq \f(1,2)倍 D．缩短了2倍
答案 A
(2)(多选)函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下列哪项变换而得到( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍
B．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标伸长到原来的3倍
C．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，向左平移eq \f(π,3)个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
D．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，向左平移eq \f(π,6)个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
答案 BD
解析 先平移后伸缩y＝sin x的图象eq \(―――――――――→,\s\up10(向左平移\f(π, 3 )个单位长度))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象eq \(―――――――――→,\s\up10(横坐标缩短为原来的\f(1, 2 ) ))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(纵坐标伸长为原来的3倍))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象．
先伸缩后平移
y＝sin x的图象eq \(―――――――――→,\s\up10(横坐标缩短为原来的\f(1, 2 ) ))
y＝sin 2xeq \(――――――――――――→,\s\up10(横坐标向左平移\f(π, 6 )个单位长度))
y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))eq \(――――――――――→,\s\up7(纵坐标伸长为原来的3倍))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，故BD正确．
反思感悟 先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的好方法．
跟踪训练2 将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,5)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,20)))
答案 C
解析 将y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,10)个单位长度得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10)))的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10)))的图象．
三、“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例3 已知函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，x∈R.
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解 (1)列表：
描点、连线，如图所示．
(2)函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍，得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象．
(学生留)
反思感悟 “五点法”作图的实质
(1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
(2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表．
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
解 f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，列表如下．
图象如图．
1．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象，只要将函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
答案 A
解析 将函数y＝sin x的图象上所有点向左平移eq \f(π,3)个单位长度，就可得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象．
2．将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
答案 D
解析 函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期为π，所以将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度后，得到函数y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．
3．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的简图是( )
答案 A
解析 当x＝0时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)<0，故排除B，D；当x＝eq \f(π,6)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)－\f(π,3)))＝sin 0＝0，排除C.
4．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 函数y＝cs xeq \(――――――――――→,\s\up7(纵坐标不变，横坐标变为),\s\d5(原来的2倍))
y＝cs eq \f(1,2)x，所以ω＝eq \f(1,2).
5．由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移______个单位长度．
答案 eq \f(π,3) eq \f(2π,3)
解析 y＝3sin xeq \(―――――――――→,\s\up10(向左平移\f(π, 3 )个单位长度))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))eq \(―――――――――――――――→,\s\up7(横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3))).
y＝3sin xeq \(―――――――――――――――→,\s\up7(横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))eq \(―――――――――→,\s\up10(向左平移\f(2π, 3 )个单位长度))
y＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3))).
1．知识清单：
(1)平移变换．
(2)伸缩变换．
(3)图象的画法．
2．方法归纳：五点法、数形结合法．
3．常见误区：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样．
1．为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,12)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
D．向左平移eq \f(π,12)个单位长度
答案 B
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度，可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象．
2．函数y＝cs x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的eq \f(1,2)，然后将图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))
答案 B
解析 y＝cs x的图象上每一点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)得到y＝cs 2x的图象；再把y＝cs 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，就得到y＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x的图象．
3．将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,2)个单位长度，所得图象对应的函数是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案 A
解析 y＝sin 2xeq \(―――――――――→,\s\up10(向右平移\f(π, 2 )个单位长度))
y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－π))＝－sin(π－2x)
＝－sin 2x.
由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数．
4．函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，所得图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，则ω的最小值是( )
A.eq \f(3,2) B．2 C．1 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 依题意得，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))(ω>0)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，
于是有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))))
＝sin ωπ＝0(ω>0)，
所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*，
因此正数ω的最小值是1，故选C.
5．(多选)有四种变换：其中能使y＝sin x的图象变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象的是( )
A．向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)
B．向左平移eq \f(π,8)个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)
C．各点横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，再向左平移eq \f(π,4)个单位长度
D．各点横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，再向左平移eq \f(π,8)个单位长度
答案 AD
解析 由y＝sin x的图象变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象有两种变换方式，第一种：先平移，后伸缩，向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)；第二种：先伸缩，后平移，各点横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，再向左平移eq \f(π,8)个单位长度．
6．将函数y＝sin 4x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为________．
答案 eq \f(π,3)
解析 将函数y＝sin 4x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，
得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3)))，
所以φ的值为eq \f(π,3).
7．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))图象上各点的纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数____________的图象．
答案 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－\f(π,3)))
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象eq \(―――――――――――→,\s\up7(图象上各点的纵坐标不变),\s\d5(横坐标伸长为原来的5倍))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－\f(π,3)))的图象．
8．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象．
答案 伸长 3
解析 A＝3>1，故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象．
9．函数f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解 先把函数y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－3的图象．
10．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？
解 (1)列表如下：
描点连线，图象如图所示．
(2)令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5π,12)＋kπ))，k∈Z.
(3)先将g(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，即可得到f(x)的图象．
11．将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(2π,3))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
答案 B
解析 将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后，得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3)))的图象，故选B.
12．要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,8)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,8)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,4)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
答案 A
解析 y＝sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))－\f(π,4))).
若设f(x)＝sin 2x＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))－\f(π,4)))，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，
所以向左平移eq \f(π,8)个单位长度．
13．设ω>0，函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,2) D．3
答案 C
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2eq \(―――――――――→,\s\up10(向右平移\f(4π, 3 ) 个单位长度))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4π,3)))＋\f(π,3)))＋2＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)－\f(4π,3)ω))＋2.
因为y与y1的图象重合，所以－eq \f(4π,3)ω＝2kπ(k∈Z)．
所以ω＝－eq \f(3,2)k.又因为ω>0，k∈Z，所以k＝－1时，ω取最小值为eq \f(3,2).
14．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝Asin x的图象，则ω＝________，φ＝________.
答案 eq \f(1,2) eq \f(π,6)
解析 y＝Asin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，再将每一点的横坐标伸长为原为的2倍(纵坐标不变)，得到y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象即为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，
所以f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，所以ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6).
15．给出几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
②横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变；
③向左平移eq \f(π,3)个单位长度；
④向右平移eq \f(π,3)个单位长度；
⑤向左平移eq \f(π,6)个单位长度；
⑥向右平移eq \f(π,6)个单位长度．
则由函数y＝sin x的图象得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，可以实施的方案是( )
A．①→③ B．②→③ C．②→④ D．②→⑤
答案 D
解析 y＝sin x的图象eq \(――→,\s\up7(②))y＝sin 2x的图象eq \(――→,\s\up7(⑤))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象．
16．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a解 (1)因为ω>0，根据题意有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)ω≥－\f(π,2)，,\f(2π,3)ω≤\f(π,2)，))解得0<ω≤eq \f(3,4).
所以ω的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))).
(2)由f(x)＝2sin 2x可得，
g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1，
g(x)＝0⇒sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)
⇒x＝kπ－eq \f(π,4)或x＝kπ－eq \f(7,12)π，k∈Z，
即g(x)的零点相邻间隔依次为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3)，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，
则b－a的最小值为14×eq \f(2π,3)＋15×eq \f(π,3)＝eq \f(43π,3).2x＋eq \f(π,6)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(π,12)
eq \f(π,6)
eq \f(5π,12)
eq \f(2π,3)
eq \f(11π,12)
y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
0
eq \f(1,2)
0
－eq \f(1,2)
0
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(φ,ω)
eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(π,ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π,ω)－eq \f(φ,ω)
f(x)
0
A
0
－A
0
2x－eq \f(π,3)
－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
eq \f(5,3)π
x
0
eq \f(π,6)
eq \f(5,12)π
eq \f(2,3)π
eq \f(11,12)π
π
f(x)
eq \f(1,2)
1
0
－1
0
eq \f(1,2)
2x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,6)
eq \f(5π,12)
eq \f(2π,3)
eq \f(11π,12)
eq \f(7π,6)
f(x)
0
1
0
－1
0