高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理同步达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理同步达标检测题，共15页。试卷主要包含了1　正弦定理与余弦定理，故选A等内容，欢迎下载使用。
第九章　解三角形9.1　正弦定理与余弦定理9.1.1　正弦定理基础过关练题组一　三角形的面积公式及其应用1.在△ABC中,若a=4,c=3,cos B=,则△ABC的面积等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.6  B.3    C.6   D.32.在△ABC中,若a=1,C=45°,S△ABC=2,则b=(　　)A.8    B.4    C.4   D.23.在△ABC中,若△ABC的面积为S,且S=·,则tan A=　　　　. 题组二　对正弦定理的理解4.在△ABC中,下列结论一定成立的是(　　)A.asin A=bsin B  B.=    C.bsin C=csin B   D.A∶B=a∶b5.在△ABC中,若a=1,b=4,sin A=,则sin B=(　　)A.       B.     C.      D.6.若△ABC的外接圆的面积为4π,则的值等于(　　)A.2    B.4    C.8   D.题组三　利用正弦定理进行边角互化7.在△ABC中,若b=a,且B=135°,则A=(　　)A.30°   B.150° C.90°     D.30°或150°8.在△ABC中,若a=3,b=5,c=6,则=(　　)A.-    B.        C.-       D.-9.在△ABC中,若A∶B∶C=2∶3∶7,则a∶b等于(　　)A.1∶2 B.2∶3   C.1∶ D.1∶10.在△ABC中,若+=0,则角B等于　　　　. 题组四　已知两角及一边解三角形11.在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3,则AC=(　　)A.4    B.2      C.    D.12.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=(　　)A.4    B.4      C.4   D.213.在△ABC中,已知A=60°,tan B=,a=2,则c=　　　. 14.在△ABC中,已知B=45°,C=60°,c=1,则最短的边的边长等于　　　　. 题组五　已知两边及一边的对角解三角形15.在△ABC中,已知a=2,b=,B=60°,那么角A等于(　　)A.135°         B.45°      C.135°或45°   D.30°16.在△ABC中,已知b=2,c=2,C=30°,那么a等于(　　)A.2     B.4      C.2或4          D.无解17.在△ABC中,若a=5,c=5,A=135°,则△ABC(　　)A.有一解          B.有两解 C.无解          D.不确定18.在△ABC中,a=,b=2,B=45°,则C=　　　　.  题组六　利用正弦定理判断三角形的形状19.在△ABC中,若b=csin B,则△ABC一定是(　　)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形20.在△ABC中,若==,则△ABC一定是(　　)A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形21.在△ABC中,已知acos B=bcos A,则三角形ABC的形状是　　　　　. 22.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,则△ABC的形状是　　　　　　　. 能力提升练一、单项选择题1.(★★☆)在△ABC中,若b=4,c=3,cos B=-,则sin C的值等于(　　) A.     B.     C.      D.2.(★★☆)在△ABC中,若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=(　　)A.-     B.    C.-1   D.13.(★★☆)在△ABC中,若B=2A,b=a,则cos A的值等于(　　)A.        B.    C.      D.4.(★★☆)在△ABC中,若b2=ac,A=30°,则的值等于(　　)A.       B.    C.   D.5.(★★☆)在△ABC中,若c=1,B=45°,cos A=,则b等于(　　)A.        B.    C.      D.6.(疑难3,★★☆)在△ABC中,若满足B=60°,b=2的三角形有两解,则a的取值范围是(　　)A.,2    B.,2     C.2,    D.2,27.(★★☆)在△ABC中,若B=120°,AB=,角A的平分线AD=,则AC=(　　)A.2       B.       C.       D.8.(疑难2,★★☆)已知三角形ABC中,a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,则三角形ABC是(　　)A.等腰三角形              B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形   D.等腰直角三角形9.(★★★)在△ABC中,B=60°,最大边长与最小边长之比为(+1)∶2,则最大内角为(　　)A.105°  B.60°  C.75°   D.90°二、多项选择题10.(★★☆)在△ABC中,下列关系可能成立的是(　　)A.a=1,b=2,A=30°,B=60°B.a=4,c=6,sin A=,cos C=-C.b=3c,B=2CD.a+b+c=sin A+sin B+sin C11.(疑难3,★★★)在锐角△ABC中,若A=2B,则的值可能是(　　)A.        B.       C.       D.三、填空题12.(疑难1,★★☆)在△ABC中,若AB=4,AC=4,B=,则△ABC的面积等于　　　　. 13.(★★☆)在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB=　　　　. 14.(★★☆)在△ABC中,若c=2b,C=B+60°,则角B等于　　　　. 四、解答题15.(疑难2,★★☆)在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sin B·sin C,试判断△ABC的形状.     16.(疑难3,★★☆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.      答案全解全析9.1.1　正弦定理基础过关练1.D　在△ABC中,因为cos B=,所以B=30°,因此S△ABC=acsin B=×4×3×sin 30°=3.2.B　由三角形的面积公式得S△ABC=ab·sin C,即2=×1×b×sin 45°,解得b=4.3.答案　2解析　由于S=bcsin A,·=||·||cos A=bccos A,因此bcsin A=bccos A,故tan A=2.4.C　由正弦定理可知=,因此bsin C=csin B一定成立.5.D　由正弦定理可知=,将已知条件代入可得sin B=.6.B　由已知得△ABC的外接圆的半径R=2,所以=2R=4.7.A　由b=a可得sin B=sin A,所以sin A===,故A=30°或A=150°(舍去).故选A.8.A　====-.9.C　由A∶B∶C=2∶3∶7以及A+B+C=180°,可得A=30°,B=45°,由正弦定理可得a∶b=sin A∶sin B=∶=1∶.10.答案　135°解析　由已知得=-,又由正弦定理得=,所以=-,即sin B=-cos B,所以B=135°.11.B　由正弦定理得=,所以AC===2.12.A　由已知得A=180°-60°-75°=45°,所以由=得b===4.13.答案　解析　因为tan B=,所以sin B=,cos B=,又A=60°,所以sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)=sin 120°cos B-cos 120°sin B=+,由=得c===.14.答案　解析　由已知得A=180°-45°-60°=75°,所以角B最小,故b边最短,由=得b===.15.B　由=得sin A===,因为b>a,所以B>A,因此A=45°.16.C　由=得sin B===,所以B=60°或B=120°.当B=60°时,A=90°,a==4;当B=120°时,A=30°,a=c=2,故a=4或a=2.17.C　由于c>a,所以必有C>A=135°,在三角形中不可能有两个钝角,故该三角形无解.18.答案　75°或15°解析　由=得sin A===,所以A=60°或A=120°,从而C=75°或C=15°.19.B　由已知及正弦定理得c==,所以sin C=1,所以C=90°,所以该三角形为直角三角形.20.A　由==及正弦定理可得==,即tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,故△ABC一定是等边三角形.21.答案　等腰三角形解析　由已知及正弦定理可得sin Acos B=sin Bcos A,即sin Acos B-sin Bcos A=0,所以sin(A-B)=0,因此A=B,故该三角形是等腰三角形.22.答案　等腰三角形或直角三角形解析　由已知得a2·=b2·,所以由正弦定理可得(sin A)2·=(sin B)2·,即=,因此sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,故A=B或A+B=90°,即该三角形是等腰三角形或直角三角形.能力提升练一、单项选择题1.C　由于cos B=-,所以sin B=,由正弦定理得=,所以sin C===.2.D　由acos A=bsin B得sin Acos A=sin2B,因此sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.3.D　由B=2A得sin B=sin 2A,即sin B=2sin Acos A,所以cos A====.4.A　由b2=ac可得sin2B=sin Asin C,所以===sin A=.5.C　在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=,所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,因此由=可得b===.6.C　因为三角形有两解,所以即解得2<a<.7.B　在△ABD中,由正弦定理得=,所以sin ∠ADB==,所以∠ADB=45°,所以∠BAD=15°,所以∠CAD=15°,∠C=30°.在△ACD中,由正弦定理得=,所以AC==.8.B　由a2sin 2B+b2sin 2A=2ab得sin2Asin 2B+sin2Bsin 2A=2sin Asin B,即sin2A·2sin Bcos B+sin2B·2sin Acos A=2sin Asin B,所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=90°,所以C=90°,因此三角形ABC是直角三角形.技巧点拨　在将三角形中的边角关系进行转化时,要注意正弦定理运用的可行性,例如将边转化为角时,等号两边关于边的项的次数应该是相等的,否则不能运用正弦定理进行转化,本题中,等号两边都是边的二次式,因此可以进行转化,然后再通过三角恒等变换得出内角的关系,即可判断三角形的形状.9.C　依题意,知三角形不是等边三角形,而B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,则A为最小角,易得A+C=120°,所以====+==+,故tan A=1,于是A=45°,C=75°.所以最大内角为75°. 二、多项选择题10.BD　由于==2,==,2≠,故A选项不可能成立;由于==10,==10,因此=,故B选项有可能成立;若B=2C,则sin B=sin 2C=2sin Ccos C,即b=2ccos C,因为b=3c,所以cos C=,显然不可能,故C选项不可能成立;由于a+b+c=2R(sin A+sin B+sin C)(R为△ABC外接圆的半径),所以当△ABC的外接圆半径R=时,D选项成立.故选BD.11.BCD　由正弦定理可得=,因为A=2B,所以===2cos B.由于△ABC是锐角三角形,所以解得<B<,所以<cos B<,因此<2cos B<,结合选项可知,的值可能是,,.易错警示　本题在确定角B的取值范围时,容易忽视△ABC是锐角三角形的条件,或者仅由△ABC是锐角三角形得出B∈0,,从而导致错解.事实上,当三角形是锐角三角形时,其每一个内角必须都是锐角,因此应通过A,B,C均为锐角来确定B的取值范围. 三、填空题12.答案　8或4解析　由正弦定理可得=,所以sin C===,所以C=或C=.当C=时,A=,S△ABC=AB·AC·sin A=×4×4×sin=8;当C=时,A=,S△ABC=AB·AC·sin A=×4×4×sin=4.13.答案　解析　因为tan A=,0°<A<180°,所以sin A=.由正弦定理知=,故AB===.14.答案　30°解析　由c=2b以及正弦定理可得sin C=2sin B,因此sin(B+60°)=2sin B,整理得tan B=,所以B=30°. 四、解答题15.解析　由sin2A=sin Bsin C和正弦定理可得a2=bc.因为2a=b+c,所以a=,所以2=a2=bc,整理得(b-c)2=0,因此b=c.从而a==b=c,故三角形ABC是等边三角形.16.解析　(1)证明:由a=btan A以及正弦定理可得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin+A,所以B=+A或B++A=π,即B-A=或B+A=.由于B为钝角,所以A∈0,,所以B+A>,即B+A=不成立.故B-A=.(2)由(1)知C=π-A-B=-2A>0,所以A∈0,.所以sin A+sin C=sin A+sin-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sin A-2+,因为A∈0,,所以sin A∈0,,所以<-2sin A-2+≤,故sin A+sin C的取值范围是,.