数学必修 第四册9.1.1 正弦定理第1课时学案设计

这是一份数学必修 第四册9.1.1 正弦定理第1课时学案设计，共6页。学案主要包含了创设问题情境，问题探究，典例解析等内容，欢迎下载使用。

1.掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)
2.能由正弦定理解决简单的解三角形问题，并能判断三角形解的个数．(难点、易错点)
重点： 正弦定理的证明及基本应用；
难点：正弦定理的探索及证明；已知两边和其中一边的对角判断解的个数问题。
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中，，
（1），（2）
（3），，；
，，
一、创设问题情境
我们在初中学习过解直角三角形的有关知识，在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程就是解直角三角形，那么对于一般的三角形，我们有什么样的方法来解三角形呢？
在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪，激光测距仪等工具直接完成，不过在这些工具没有出现以前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？
如图9-1-1所示，若想知道和对岸的一个点A与岸边一点B之间的距离，而且已测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，
求出AB的长吗？
二、问题探究
（1）如图9-1-2所示，已知∆ABC中a=5，b=3，C=π3，你能求出这个三角形的面积吗？
（2）一般的在∆ABC中，如何根据a,b与C的值,求出这个三角形的面积？

如图所示，在∆ABC中过点A作BC上的高AD，在Rt∆ADC中有正弦的定义可知:AD=bsinC，因此所求三角形的面积为S= 12absinC
可以看出，上述求三角形面积的方法在C为锐角时都成立，而当C为钝角时，如图所示，任可以看出，上述求三角形面积的方法在c为锐角时都成立，而当c为钝角时，如图9-1-3所示，仍设∆ABC中BC上的高AD可得：
因此仍有S=12absinC；当C为直角时，由sin900=1可知上述面积公式仍成立。
即： S=12absinC ＝ 12acsinB＝ 12bcsinA；
一般地，若记∆ABC的面积为S，则由此可知，2Sabc=sinCc=sinBb=sinAa,
又因为sinA>0,sinB>0,sinC>0,因此可得；
asinA=bsinB=csinC
正弦定理（law f sines）
在任意一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.
asinA=bsinB=csinC
是否可以用其他的方法证明正弦定理?
正弦定理（law f sines）
在任意一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.
是否可以用其他的方法证明正弦定理?
试一试
1．在△ABC中，一定成立的等式是( )
A．acs A＝bcs B； B．asin B＝bsin A；
C．acs B＝bcs A． D．asin A＝bsin B.
2．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3).则sin B＝( )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(5,9) C.eq \f(\r(5),3) D．1
3．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs B,b)，则B的大小为______________．
三、典例解析
【例1】 在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．
【例2】 在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b；
【例3】 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°；
(2)a＝eq \r(3)，b＝1，B＝120°.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于钝角三角形．( )
(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立．( )
(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则三角形是等腰三角形． ( )
2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝30°，b＝2，则eq \f(a,sin A)的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
3．已知△ABC，根据下列条件，解三角形：
(1)a＝2，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)；
(2)a＝2，c＝eq \r(6)，A＝eq \f(π,4).
1、正弦定理asinA=bsinB=csinC
2、正弦定理的主要应用：
（1）已知三角形的两角及一边，解三角形；
（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形；
3、转化划归思想、分类讨论的思想、方程思想等及其证明的思想方法.
参考答案：
学习过程
二、问题探究
1．B [选项B可化为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，由正弦定理可知选项B正确．]
2．B [由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可得，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(1,3),3)＝eq \f(5,9)，故选B.]
3． 45° [由正弦定理知eq \f(sin A,sin A)＝eq \f(cs B,sin B)，∴sin B＝cs B，∴B＝45°.]
三、典例解析
【例1】 解： 根据三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(18sin 60°,sin 45°)＝9eq \r(6).
【例2】 解：∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10×sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2).
∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cs 45°＋cs 30°sin 45°＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4)，
∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝20×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)＝5eq \r(2)＋5eq \r(6).
【例3】 解：(1)根据正弦定理，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3)sin 30°,1)＝eq \f(\r(3),2).
∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(\r(3),sin 60°)＝2；
当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A，∴c＝a＝1.
(2)根据正弦定理，sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(\r(3)sin 120°,1)＝eq \f(3,2)>1.因为sin A≤1.所以A不存在，即无解．
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1.【答案】D
【解析】 (1)×.正弦定理适用于任意三角形．
(2)√.由正弦定理知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，即bsin A＝asin B.
(3)√.由正弦定理可知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，即a＝b，所以三角形为等腰三角形．
2.【答案】 (1)× (2)√ (3)√
【解析】由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(2,sin 30°)＝4.
3.【解析】 (1)∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，∴sin A＝eq \f(asin C,c)＝eq \f(\r(2),2).
∵c>a，∴C>A．∴A＝eq \f(π,4).
∴B＝eq \f(5π,12)，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)×sin \f(5π,12),sin\f(π,3))＝eq \r(3)＋1.
(2)∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(3),2).
又∵a当C＝eq \f(π,3)时，B＝eq \f(5π,12)，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \r(3)＋1.
当C＝eq \f(2π,3)时，B＝eq \f(π,12)，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \r(3)－1.]