数学必修 第四册9.1.1 正弦定理第2课时导学案及答案

这是一份数学必修 第四册9.1.1 正弦定理第2课时导学案及答案，共8页。学案主要包含了探索与研究，例题解析等内容，欢迎下载使用。
9.1.1  正弦定理及其应用（2）1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题.2.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.通过正弦定理的灵活运用，提升学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.重点：熟记正弦定理的有关变形公式．难点：能结合正弦定理解决较为复杂的解三角形问题．1.什么是正弦定理？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，  即   （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。2.课前小测1．思考辨析(1)在△ABC中，等式b＝asin B总能成立．(　　)(2)在△ABC中，若∠A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°.(　　)(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解．(　　)2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　) A．直角三角形　　　　　                       B．等腰三角形C．锐角三角形                                 D．钝角三角形3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　) A．一解                                       B．两解C．无解                                       D．无法确定一、探索与研究1.已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．（提示：先考虑直角三角形）2．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？二、例题解析例5．在△ ABC中，已知，求证：△ ABC是直角三角形.  跟踪训练1.在△ABC中，若sin A＝2sin B，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.  母题探究：(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin B，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝a”其它条件不变，试判断△ABC的形状．例6.如图9-1-5所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证；.跟踪训练2．如果在△ABC中，角A的外角平分线AD与BC的延长线相交于点D，求证：. 1．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为(　　)A．0　　　　　B．1                 C．2          D．无数多2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　) A．3              B．3       C．6           D．63．在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________. 5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值． 6．求证：在△ABC中，.  1.正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，或a＝k，b＝k，c＝k(k＞0)．2．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决． 参考答案：知识梳理2.课前小测1．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　解析：（1）正确(2)由正弦定理可知＝，即＝，所以sin B＝，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.(3)当bsin A<a<b时，△ABC有两解．2．B　[由正弦定理可得sin A＝sin C⇒a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]3．A　[由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]学习过程1.证明：如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin A，即＝2R，同理＝2R，＝2R，所以＝＝＝2R.2．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示：由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：sin A＝，a＝2Rsin A；sin B＝，b＝2Rsin B；sin C＝，c＝2Rsin C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．二、例题解析例5．证明：设,则,且,,.又因为,所以,即,因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.跟踪训练1. 思路探究：解决本题的关键是利用sin A＝，sin B＝，sin C＝把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin Bcos C求解．[解]　法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得＝＝，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．母题探究：(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acos C”其它条件不变，试判断△ABC的形状．[解]　∵b＝acos C，由正弦定理，得sin B＝sin Acos C．   (*)∵B＝π－(A＋C)，∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sin Acos C.∴cos Asin C＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cos A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形．例6.证明：如图,设,,则由题意可知,.在△ ABD和△ ADC中,分别应用正弦定理,可得,,两式相除即可得.另解：过点C作,交BA的延长线于点E,如图所示.∵,∴.又∵AD平分∠BAC,∴.在△BCE中,由知,,,∴,∴,∴.跟踪训练2．证明：如图所示,∠BAC的外角（∠CAE）的平分线AD与BC的延长找相交于点D,∴,∴.∵,∴.在△CAD和△BAD中,由正弦定理得,∴,∴.达标检测1．【答案】B　[因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC的个数为1.]2．【答案】B　[由S＝absin C＝×4×3×得S＝3，故选B.]3．【答案】1[由＝得sin C＝＝×＝，又0<C<，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝.所以＝＝＝1.]4．【答案】　2　[由tan A＝2，得sin A＝2cos A，由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，∵b＝5，B＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝2.]5．【答案】　由条件得＝＝，∴sin A＝sin C.同理可得sin B＝sin C.∴＝＝－.6．证明：令,则,,.∴.另解：由正弦定理,得,,∴.