2021学年1.1 正弦定理和余弦定理免费复习练习题

第一章　解三角形

1.1　正弦定理和余弦定理

1.1.1　正弦定理

基础过关练

题组一　对正弦定理的理解

1.在△ABC中,下列关系中一定成立的是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.asin B=bsin C         B.acos A=bcos B

C.asin C=csin A         D.acos B=bcos A

2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a·cos A=bsin B,则

sinAcos A+cos2B=(　　)

A.- B. C.-1 D.1

3.在△ABC中,若=,则角B的大小为(　　)

A. B. C. D.

4.已知△ABC外接圆的半径是2 cm,∠A=60°,则BC=　　　　.

题组二　已知两角及一边解三角形

5.在△ABC中,AB=,A=45°,C=75°,则BC=(　　)

A.3+ B.3- C.2 D.

6.在△ABC中,已知a+b=,B=,A=,则b的值为　　　　.

7.在△ABC中,若tan A=,C=120°,a=1,则c=　　　　.

8.在△ABC中,已知a=2,A=30°,B=45°,解三角形.

题组三　已知两边及一边的对角解三角形

9.在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=(　　)

A. B. C. D.1

10.在△ABC中,b=10,c=5,C=60°,则△ABC有(　　)

A.一解 B.两解 C.无解 D.不确定

11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=,B=,则a=　　　　.

12.在△ABC中,已知a=2,b=6,A=30°,解三角形.

题组四　利用正弦定理判断三角形的形状

13.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acos B-bcos A=c,则△ABC是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不确定

14.在△ABC中,若c<bcos A,则△ABC为(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不确定

15.在△ABC中,若=,则△ABC是(　　)

A.等腰或直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形      D.不能确定

16.在△ABC中,已知b=asin C,c=asin B,试判断△ABC的形状.

能力提升练

一、选择题

1.(2019福建福州三中高一下期末,★★☆)若==,则△ABC为(　　)

A.等边三角形

B.等腰直角三角形

C.有一个内角为30°的直角三角形

D.有一个内角为30°的等腰三角形

2.(★★☆)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cos A=,则b等于(　　)

A. B.

C. D.

3.(★★☆)如果满足条件C=60°,AB=,BC=a的三角形ABC有两个,那么a的取值范围是(　　)

A.(1,) B.(,)

C.(,2) D.(1,2)

4.(2020安徽合肥高一期末,★★☆)在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆面积为(　　)

A. B.π C.2π D.4π

5.(2019陕西西安一中高二月考,★★★)在△ABC中,B=120°,AB=,∠A的平分线AD=,则AC=(　　)

A.2  B. C. D.

6.(★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csin A=

acos C,则sin A+sin B的最大值是(　　)

A.1 B. C. D.3

二、填空题

7.(2018四川省南充高级中学高二上期中,★★☆)已知方程x2-(bcos A)x+

acos B=0的两根之积等于两根之和,且a,b为△ABC的两边,A,B为△ABC的

两内角,则△ABC的形状为　　　　.

8.(★★☆)如果满足A=60°,BC=6,AB=k的锐角△ABC有且只有一个,那么实数k的取值范围是　　　　.

9.(★★★)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=,则=　　　　.

三、解答题

10.(2020湖南邵阳武冈二中高二月考,★★☆)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.

(1)求AB的长;

(2)求cos的值.

11.(2019河南郑州一中高二上期中,★★★)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.

(1)证明:B-A=;

(2)求sin A+sin C的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　由正弦定理可得asin C=csin A.

2.D　∵acos A=bsin B, ∴sin Acos A=sin2B=1-cos2B,∴sin Acos A+cos2B=1.

3.B　由正弦定理及已知得==,所以sin B=cos B.

由题意得B∈(0,π),所以B=.

4.答案　2 cm

解析　设△ABC外接圆的半径为R,则R=2 cm,∵=2R,∴BC=2Rsin A=4·

sin 60°=2(cm).

5.B　在△ABC中,由正弦定理,得=,所以BC====3-.

6.答案　3-2

解析　由正弦定理,得==,即a=b,代入a+b=,得b=,所以b==3-2.

7.答案　

解析　由tan A==,得cos A=2sin A,代入sin2A+cos2A=1,得5sin2A=1,由题意得A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin A=.由=,得c==.

8.解析　∵==,

∴b====4.

在△ABC中,C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,

∴c====2+2.

9.B　由正弦定理及已知得,=,所以sin B=.

10.A　由正弦定理及已知得,sin B==,又b<c,所以B=45°,所以△ABC只有一解.

11.答案　

解析　由正弦定理及已知,得sin C===1.由题意得0<C<π,

∴C=,∴a2+b2=c2.又c=2,b=,∴a=.

12.解析　由已知得,a<b,A=30°<90°.又因为bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A,

所以本题有两解.

由正弦定理得,sin B===,故B=60°或120°.

当B=60°时,C=90°,c==4;

当B=120°时,C=30°,c=a=2.

所以B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2.

13.B　由acos B-bcos A=c,得cos B-·cos A=1.

由正弦定理,得-=1,即sin(A-B)=sin C.又因为A,B,C∈(0,π),

所以A-B=C或A-B=π-C,即A=B+C或A+C=π+B.

由A=B+C,得A=;由A+C=π+B,得π-B=π+B,即B=0,不成立.

所以A=.故△ABC是直角三角形.

14.C　由c<bcos A及正弦定理,得sin C<sin Bcos A.因为sin C=sin(B+A)=

sin Bcos A+cos Bsin A,所以sin Bcos A+cos Bsin A<sin Bcos A,即sinAcos B<0.又因为A,B∈(0,π),所以cos B<0,即B为钝角.故△ABC为钝角三角形.

15.A　由正弦定理及已知得=,又由题意得sin A>0,sin B>0,故化简可得

sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.

因为A,B∈(0,π),所以2A=2B或2A=π-2B,所以A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选A.

16.解析　解法一:由b=asin C,c=asin B,得=,

由正弦定理,得=,所以b2=c2.又b,c>0,所以b=c,所以B=C.

由b=asin C,得sin B=sin Asin C=sin Asin B,所以sin A=1,又0<A<π,

所以A=,所以△ABC是等腰直角三角形.

解法二:由b=asin C,c=asin B,得=,

由正弦定理,得=,所以sin2B=sin2C.

又0<B<π,0<C<π,所以sin B>0,sin C>0,所以sin B=sin C,所以B=C.

由b=asin C,得sin B=sin Asin C=sin Asin B,

所以sin A=1,又0<A<π,所以A=,所以△ABC为等腰直角三角形.

能力提升练

一、选择题

1.B　因为=,而由正弦定理得=,所以=,即cos B=sin B.

在△ABC中,可得B=45°.同理,可得C=45°,所以△ABC为等腰直角三角形.

2.C　由题意得0°<A<135°.因为cos A=,所以sin A===,所以sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=cos 45+

sin 45°=.由=,得b=×sin 45°=.

3.C　因为满足条件的三角形ABC有两个,所以asin C<AB<a,所以a<<a,所以a∈(,2).故选C.

4.B　在△ABC中,A=75°,B=45°,∴C=180°-A-B=60°.设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=,解得R=1,故△ABC的外接圆面积为πR2=π.故选B.

5.B　如图所示,设∠BAD=∠CAD=θ.在△ABD中,由正弦定理,得=,所以sin∠ADB==.又0°<∠ADB<180°,且∠ADB为锐角,所以∠ADB=45°,

所以∠ADC=135°,θ=15°.所以C=180°-15°-135°=30°.

在△ACD中,由正弦定理,得=,所以AC===.

6.C　∵csin A=acos C,∴sin Asin C=sin Acos C.

由题意得sin A≠0,∴sin C=cos C,∴tan C=.

又由题意得C∈(0,π),∴C=,

∴sin A+sin B=sin A+sin=sin A+sincos A+cossin A=sin A+

cos A=sin.∵A∈,∴当A=时,sin A+sin B取最大值.

二、填空题

7.答案　等腰三角形

解析　设方程的两根分别为x1,x2.由已知,得x1+x2=bcos A,x1x2=acos B,

则bcos A=acos B.由正弦定理,得sin Bcos A=sin Acos B,即sin(A-B)=0.

因为A,B∈(0,π),所以A-B=0,即A=B,所以△ABC为等腰三角形.

8.答案　2<k<4

解析　由已知可得30°<C<90°,所以<sin C<1.

由正弦定理,得=,所以k=4sin C,所以2<k<4.

9.答案　

解析　由正弦定理及已知,得=,即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)cos B,整理,得sin(A+B)=3sin(B+C).所以sin C=3sin A,即==.

三、解答题

10.解析　(1)∵cos B=,0<B<π,∴sin B=.

由正弦定理,得=,∴AB===5.

(2)在△ABC中,A+B+C=π,∴A=π-(B+C).

∴cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin Bsin =-×+×=-.

又0<A<,∴sin A=.∴cos=cos A+sin A=×+×=.

11.解析　(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得==,∴sin B=cos A,

即sin B=sin,又∵B为钝角,∴+A∈,∴B=+A,即B-A=.

(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,∴A∈,

∴sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1

=-2+.

∵0<A<,∴0<sin A<,∴<-2+≤,

故sin A+sin C的取值范围是.