高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理教学设计及反思

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情境导学

关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法(940～998)提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁­图西(1201～1274)给出的．我国清代数学家梅文鼎(1633～1721)在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式．
思考：三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？
1．三角形的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha＝eq \f(1,2)b·hb＝eq \f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B.
(3)S＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．
2．正弦定理
3．解三角形
(1)一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．
(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．
思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？
[提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角．
[拓展]
1．正弦定理的常用变形式
在△ABC中，若内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆半径为R.则
(1)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；
(2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(3)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R；(证明见类型4[探究问题])
(4)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(可以实现边到角的转化)
(5)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).(可以实现角到边的转化)
2．三角形中边角的不等关系
(1)若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C；
(2)若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于钝角三角形．( )
(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立．( )
[提示] (1)×.正弦定理适用于任意三角形．
(2)√.由正弦定理知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，即bsin A＝asin B.
[答案] (1)× (2)√
2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
B [因为A，C是△ABC的内角，所以A＋C＜π，又因为sin A＝sin C，所以A＝C，即△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝( )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(5,9) C.eq \f(\r(5),3) D．1
B [由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可得，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(1,3),3)＝eq \f(5,9)，故选B.]
4．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs B,b)，则B的大小为___________．
eq \f(π,4) [由正弦定理知eq \f(sin A,sin A)＝eq \f(cs B,sin B)，
∴sin B＝cs B，又∵B∈(0，π)，∴B＝eq \f(π,4).]
合作探究
【例1】 (1)在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值；
(2)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b.
[解] (1)根据三角形内角和定理，得
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(18sin 60°,sin 45°)＝9eq \r(6).
(2)法一：∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10×sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2).
∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cs 45°＋cs 30°sin 45°＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4)，
∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝20×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)＝5eq \r(2)＋5eq \r(6).
法二：设△ABC外接圆的直径为2R，
则2R＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(10,sin 30°)＝20.
易知B＝180°－(A＋C)＝105°，
∴a＝2Rsin A＝20×sin 45°＝10eq \r(2)，
b＝2Rsin B＝20×sin 105°
＝20×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)＝5eq \r(2)＋5eq \r(6).
已知三角形的两角和任一边解三角形的方法
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差)，再根据上述思路求解．
eq \([跟进训练])
1．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
[解] 由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
得c＝a·eq \f(sin C,sin A)＝5×eq \f(sin 105°,sin 30°)＝5×eq \f(sin 60°＋45°,sin 30°)
＝5×eq \f(sin 60°cs 45°＋cs 60°sin 45°,sin 30°)
＝eq \f(5,2)(eq \r(6)＋eq \r(2))．
【例2】 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°；
(2)a＝1，b＝eq \r(3)，B＝120°.
[解] (1)根据正弦定理，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3)sin 30°,1)＝eq \f(\r(3),2).
∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(\r(3),sin 60°)＝2；
当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A，∴c＝a＝1.
(2)根据正弦定理，sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(sin 120°,\r(3))＝eq \f(1,2).
因为B＝120°，所以A＝30°，则C＝30°，c＝a＝1
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)根据正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求的这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，分别求解即可．
(2)根据三角形内角和定理求出第三个角．
(3)根据正弦定理求出第三条边．
eq \([跟进训练])
2．已知△ABC分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝2，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)；
(2)a＝2，c＝eq \r(6)，A＝eq \f(π,4).
[解] (1)∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin A＝eq \f(asin C,c)＝eq \f(\r(2),2).
∵c>a，∴C>A.∴A＝eq \f(π,4).
∴B＝eq \f(5π,12)，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)×sin \f(5π,12),sin\f(π,3))＝eq \r(3)＋1.
(2)∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(3),2).
又∵a当C＝eq \f(π,3)时，B＝eq \f(5π,12)，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \r(3)＋1.
当C＝eq \f(2π,3)时，B＝eq \f(π,12)，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \r(3)－1.
【例3】 在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2eq \r(3)，AC＝2.求△ABC的面积．
[解] 由正弦定理，得sin C＝eq \f(AB·sin B,AC)＝eq \f(\r(3),2)，
又AB·sin B＜AC＜AB，故该三角形有两解：C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，
S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin A＝2eq \r(3)；
当C＝120°时，A＝30°，
S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin A＝eq \r(3).
所以△ABC的面积为2eq \r(3)或eq \r(3).
求三角形面积的公式
求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的地为具备两边及其夹角的条件做准备．
eq \([跟进训练])
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A＝3，cs C＝eq \f(\r(5),5).
(1)求角B的大小；
(2)若c＝4，求△ABC的面积．
[解] (1)∵cs C＝eq \f(\r(5),5)，∴C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴sin C＝eq \f(2\r(5),5)，tan C＝2.
又∵tan B＝－tan(A＋C)＝－eq \f(tan A＋tan C,1－tan Atan C)
＝－eq \f(3＋2,1－3×2)＝1，且0＜B＜π，∴B＝eq \f(π,4).
(2)由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得
b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(4×\f(\r(2),2),\f(2\r(5),5))＝eq \r(10)，
由sin A＝sin(B＋C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋C))
得sin A＝eq \f(3\r(10),10)，
∴△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝6.
[探究问题]
1．已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．
[提示] 如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，
∠BAC＝∠BDC，
在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，
所以a＝2Rsin A，
即eq \f(a,sin A)＝2R，同理eq \f(b,sin B)＝2R，eq \f(c,sin C)＝2R，
所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R.
2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？
[提示] 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；
(2)已知两角和一边解三角形．
【例4】 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
[思路探究] ①A＝π－(B＋C)．
②边角转化，sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)（R为△ABC外接圆的半径）.
[解] 法一：在△ABC中，根据正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2R)))eq \s\UP12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2R)))eq \s\UP12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R)))eq \s\UP12(2)，
即a2＝b2＋c2，
∴A＝90°，∴B＋C＝90°，
由sin A＝2sin Bcs C，
得sin 90°＝2sin Bcs(90°－B)，
∴sin2B＝eq \f(1,2).
∵B是锐角，∴sin B＝eq \f(\r(2),2)，
∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：在△ABC中，根据正弦定理，得
sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形且A＝90°.
∵A＝180°－(B＋C)，
sin A＝2sin Bcs C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcs C.
∴sin Bcs C－cs Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即B＝C.
∴△ABC是等腰直角三角形．
(变条件)若将题设中的“sin A＝2sin Bcs C”改为“bsin B＝csin C”，其余不变，试解答本题．
[解] 由正弦定理，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆半径)，得sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
∵bsin B＝csin C，sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴b·eq \f(b,2R)＝c·eq \f(c,2R)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2R)))eq \s\UP12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2R)))eq \s\UP12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R)))eq \s\UP12(2)，
∴b2＝c2，a2＝b2＋c2，
∴b＝c，A＝90°.
∴△ABC为等腰直角三角形．
利用正弦定理判断三角形形状
(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
(2)在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理转化为角的关系(注意应用A＋B＋C＝π这个结论)或边的关系，再用三角恒等变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不能约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．
【例5】 在△ABC中，若acs2eq \f(C,2)＋ccs2eq \f(A,2)＝eq \f(3b,2)，求证：a＋c＝2b.
[思路探究] ①已知等式中有边a，b，c，则要想到边化角的变形公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（R为△ABC外接圆半径）
②cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2).
[证明] 因为acs2eq \f(C,2)＋ccs2eq \f(A,2)＝eq \f(3b,2)，
所以由正弦定理得sin Acs2eq \f(C,2)＋sin Ccs2eq \f(A,2)＝eq \f(3sin B,2)，
所以sin A·eq \f(1＋cs C,2)＋sin C·eq \f(1＋cs A,2)＝eq \f(3sin B,2)，
即sin A＋sin Acs C＋sin C＋sin Ccs A＝3sin B，
所以sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，
所以sin A＋sin C＝2sin B，
所以由正弦定理可得a＋c＝2b.
1．已知或所求等式中只有边的关系就用边化角的变形公式．
2．已知或所求等式中只有角的正弦的关系就用角化边的变形公式．
3．已知或所求等式中既有边的关系也有角的关系，就尝试使用这两组变形公式．
eq \([跟进训练])
4．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1＋eq \f(tan A,tan B)＋eq \f(2c,b)＝0，则A＝________.
eq \f(2π,3) [由正弦定理可得1＋eq \f(tan A,tan B)＋eq \f(2sin C,sin B)＝0，
故1＋eq \f(sin Acs B,cs Asin B)＋eq \f(2sin C,sin B)＝0，eq \f(sinA＋B,cs Asin B)＋eq \f(2sin C,sin B)＝0，
即eq \f(sin C,cs Asin B)＋eq \f(2sin C,sin B)＝0.
因为B，C∈(0，π)，所以eq \f(sin C,sin B)≠0，所以eq \f(1,cs A)＋2＝0，
即cs A＝－eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(2π,3).]
课堂小结
知识：
1．利用正弦定理解三角形的类型及解法
2.利用S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A可以计算三角形的面积
方法：
1．利用正弦定理进行边角转化的两条途径
(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系．利用的公式为sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到角的关系．利用的公式为a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2．判断三角形形状的方法通常有以下两种
(1)边化角．考察角的关系主要有：
两角是否相等；三个角是否相等；是否有直角等．
(2)角化边．考察边的关系主要有：
两边是否相等；三边是否相等；是否满足勾股定理等．
1．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A与B的大小关系为( )
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．不能确定
A [由正弦定理得sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故选A.]
2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝30°，b＝2，则eq \f(a,sin A)的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
C [由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(2,sin 30°)＝4.]
3．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
C [由eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)和正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可得eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(sin C,cs C)，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C.
故△ABC为等边三角形．]
4．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
[解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)，得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(8×sin 60°,sin 45°)＝4eq \r(6).
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(8×sin 75°,sin 45°)＝eq \f(8×\f(\r(2)＋\r(6),4),\f(\r(2),2))＝4(eq \r(3)＋1)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)
2．理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正弦定理解决三角形度量和边角转化问题，会判三角形的形状．(难点)
3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点)
1.借助正弦定理的推导，提升数学抽象、逻辑推理的素养．
2．通过正弦定理的应用的学习，培养数学运算、直观想象的素养.
已知两角及一边解三角形
已知两边及其中一边的对角解三角形
三角形的面积公式及其应用
利用正弦定理判断三角形的形状
利用正弦定理进行边角互化
类型
已知条件
一般解法
已知三角形的两角和任意一边
A，B，a
b＝eq \f(asin B,sin A)，C＝π－(A＋B)，c＝eq \f(asin C,sin A)
A，B，b
a＝eq \f(bsin A,sin B)，C＝π－(A＋B)，c＝eq \f(bsin C,sin B)
A，B，c
C＝π－(A＋B)，a＝eq \f(csin A,sin C)，b＝eq \f(csin B,sin C)
已知三角形的两边和其中一边的对角
A，b，a
sin B＝eq \f(bsin A,a)，C＝π－(A＋B)，c＝eq \f(asin C,sin A)(解的个数不一定唯一)