高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理优秀习题

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题型一 正弦定理解三角形
1．（22-23高三上·江西赣州·期中）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=4,A=π4,C=5π12，则b=（ ）
A．23B．25C．26D．6
2．（2024·海南·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=2,b=3,sinA=12，则sinB=（ ）
A．34B．23C．13D．14
3．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝π3，cs B＝277，b＝2，则a＝（ ）
A．3B．5C．3D．7
4．（23-24高三上·福建宁德·期中）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，A=60∘，C=75∘，则b= .
题型二 三角形多解问题
1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（ ）
A．(23,4)B．2,4C．(4,+∞)D．(2,23)
2．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在△ABC中，若a=1，csA=154，b=x，三角形有唯一解，则整数x构成的集合为（ ）
A．1B．1,2C．1,4D．1,2,4
3．（多选）（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列各组条件中，能使△ABC恰有一个解的是（ ）
A．A=π6,c=2,a=12B．A=π6,c=2,a=1
C．A=π6,c=2,a=32D．A=π6,c=2,a=2
4．（多选）（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列对△ABC的个数的判断正确的是（ ）
A．当a=22,c=4,A=30∘时，有两解
B．当a=5,b=7,A=60∘时，有一解
C．当a=2,b=4,A=30∘时，无解
D．当a=6,b=4,A=60∘时，有两解
题型三 利用正弦定理判断三角形的形状
1．（21-22高二上·河南·阶段练习）在△ABC中，若bsinA=asinC，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
2．（20-21高一下·河北张家口·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acsC+ccsA=c，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
3．（20-21高一下·四川广安·期末）在△ABC中，已知a=2bcsC，且sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
4．（20-21高一下·浙江·期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b=2a⋅csC，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
题型四 正弦定理求外接圆半径
1．（22-23高一下·河北·期中）在△ABC中，A+C=2B，AC=43，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．2B．22C．23D．4
2．（21-22高一下·福建厦门·期末）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=1，acsB=2sinC，csAsinB=18，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）在△ABC中，AB=2，B=120∘，A=30∘，则△ABC外接圆的半径为 ．
4．（22-23高二上·陕西商洛·期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知b=2，csB=13，则△ABC外接圆的半径为 .
题型五 正弦定理与三角形的面积
1．（23-24高三上·上海虹口·期中）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=23，c=8，A=30°，则△ABC的面积为 ．
2．（22-23高一下·广东东莞·期中）在△ABC中，A=2π3,AC=23，且△ABC的面积为332，则AB=（ ）
A．3B．3C．2D．2
3．（22-23高一下·新疆阿克苏·阶段练习）已知△ABC中，AB=2,AC=3，且△ABC的面积为32，则A=（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
4．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足a=23,A=π3.
(1)求△ABC外接圆的面积；
(2)若b=2，求△ABC的面积.
题型六 正弦定理的综合应用
1．（2024·四川凉山·二模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acsB−bcsAacsB+bcsA+bc=1，则A= ．
2．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcsC=c1−3csB，则sinC:sinA= .
3．（22-23高一下·江苏·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2B+C2=1+cs2A.
(1)求角A的大小；
(2)若a2=2b2−2c2，求cs2C−cs2B的值.
4．（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且csA=sinC−sinB2sinB．
(1)求BA的值；
(2)若2a=3b，求sinA．
题型七 取值范围问题
1．（2024·辽宁辽阳·一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+4b2=6c2，则sin2CsinAsinB的最小值为 .
2．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是边BC边上一点，∠BAM=30°，∠CAM=60°，且AM=2，则c+3b的最小值为 ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=4sinx+π6csx−1.
(1)求fx的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在△ABC中，fA=1,BC=4，求△ABC周长的取值范围.
4．（2024·北京石景山·一模）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2bsinA−3a=0．
(1)求角B的大小；
(2)求csA+csC的取值范围．
1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c−b=2bcsA，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．B=2A
B．B的取值范围为0,π4
C．ab的取值范围为2,3
D．1tanB−1tanA+2sinA的最小值为22
2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，一块三角形铁片ABC，已知AC=63,BC=8,∠ACB=5π6，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D,CD=2,∠BCD=π6．过点D作一条直线分别交AC,BC于点E,F，并沿直线EF裁掉△CEF，则剩下的四边形AEFB面积的最大值为（ ）
A．83B．43C．33D．63
3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知asinA+C2=bsinA
(1)求角B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC的面积的取值范围.