高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理第1课时学案设计

9.1.1正弦定理（1）

【学习重点】

三角形面积公式、正弦定理的推理过程，及简单应用

【学习难点】

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数

问题1：三角形的面积公式

尝试与发现：

（1）如图，已知中，，你能求出这个三角形的面积吗？

（2）一般地，在中，如何根据地值，求出这个三角形的面积？

解：

一般地，若记的面积为S，则                        

问题2：正弦定理

在中：

这就是正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等.

例1.已知中，求.

注：（1）在一个三角形中，如果已知两个角与一个边，就可以求出这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可以求出该三角形其他的两条边.因此，确定了一个三角形的两个角和一个边之后，这个三角形就唯一确定了，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致.

（2）我们把三角形得3个角和3个边都称为三角形的运算，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.

例2.已知中，，求解这个三角形.

注：根据例2的解答，（1），（2）都满足条件，事实上，这与我们初中所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一样.

例3.已知中，，求及三角形面积.

注：例3中不可能成立，也可从以及大边对大角看出.

例4.判断满足条件的是否存在，并说明理由.

问题3：利用正弦定理和三角形内角和定理，解决三角形

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如。

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．

    一解                两解                  一解                一解  

例5. 根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．

（1），，，求；

（2），，，求；

（3），，，求；

（4），，，求；

（5），，，求．

【巩固练习】

练习1：“已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c.

【解题方法】当已知三角形的两角和一边时，解三角形的步骤如下：(1)利用三角形内角和定理求出第三个角；(2)利用正弦定理求出另外两边．

练习2：在△ABC中，根据下列条件，解三角形．

(1)A＝60°，c＝，a＝；

(2)a＝，b＝，B＝45°.

 [变式]　(1)改为“A＝30°，c＝，a＝”，结果又怎样？ 

【解题方法】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．

练习3：在△ABC中，a＝，b＝2，A＝30°，求B，C及c.

练习4：在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，求△ABC的面积． 

【解题方法】三角形的面积问题的处理思路

1．若所给条件为边角关系，则运用正弦定理＝＝求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式求解．

2．若所求面积的图形为不规则图形，可通过做辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．

3．解决有关面积问题时，有时涉及同角三角函数基本关系式、三角恒等变换等．