高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理第2课时教案及反思

9.1.1正弦定理（2）

正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同时它的推导过程也为余弦定理的推导设下伏笔，因此它具有承上启下的重要地位，并且它还是解决实际生活中与三角形有关的问题的有力工具。本节课是正弦定理的第二课时，在第一课时掌握了三角形面积公式、正弦定理的推导过程和简单应用的基础上，进一步研究正弦定理的推论和变形及应用，过程中进一步渗透直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.

【教学重点】

正弦定理的推论和变形的推导、应用

【教学难点】

正弦定理的推论和变形在解三角形和实际问题中的应用

问题1：正弦定理的外接圆证法

如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′

设BB′＝2R，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：

∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′

∴sinC＝sinB′＝        

∴＝2R

同理可得＝2R，＝2R

∴＝＝＝2R

因此得到正弦定理的推论：

设R是△ABC外接圆的半径，则＝＝＝2R.

例1. 在△ABC中，a＝5，B＝135°，C＝15°，则此三角形的最大边长为________，外接圆半径为________.

【答案】5　5　

【解析】因为B为钝角，所以B为最大角，b为最大边．由三角形内角和定理得A＝180°－135°－15°＝30°，由正弦定理＝，得b＝＝＝5.由2R＝＝10，得R＝5.

问题2：正弦定理的变形及其应用

正弦定理的变形(R是△ABC外接圆的半径)：

(1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；

(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C.

例2. △ABC中，，求证△ABC为直角三角形

证明：设，则，且

又因为，所以

即，由勾股定理即得证.

【解题方法】

1．判断三角形形状时，应围绕三角形的边角关系，利用正弦定理进行边角互化，要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，要么把边转化为角，通过三角变换找出角之间的关系，当然也可以边角同时考虑．

2．在解题中，若出现关于边的齐次式(方程)，或关于角的正弦的齐次式(方程)可通过正弦定理，进行边角互化．

【变式练习】

1.在△ABC中，若试判断△ABC的形状.

【解】令＝ｋ，由正弦定理，得

代入已知条件，得＝＝　　，即tanＡ＝tanＢ＝tanＣ．

又Ａ，Ｂ，Ｃ∈ （０，π），所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，从而△ＡＢＣ为正三角形．

2.在△ABC中，设，求的值。

【解】由正弦定理得：

又，。

3.在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状.

【解】由已知＝及正弦定理得＝∴sin2A=sin2B

∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

例3. 在锐角三角形ABC中，A=2B，、、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。

【解】在锐角三角形ABC中，A、B、C<900，即：，

由正弦定理知：，故所求的范围是：。

【解题方法】

利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段．正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用，将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的约束关系．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝.(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识内角的约束关系，利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．

【变式练习】

1.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,  A+C=2B,则sinC=     

解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，，即．由知，，则]

，

2. 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，则______.

【答案】

【解析】

由正弦定理得，

又，所以，所以，

因为，所以.

故答案为：.

3. 已知在锐角中，角，，C所对边的长分别为a，b，c，.

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由及正弦定理得：，

∴，

又∵，∴.

（2），

∴

.

又∵为锐角三角形，

∴，即，

∴.

例4.在中，是的平分线，用正弦定理证明：．

证明：设，，则，．

在和中分别运用正弦定理，

得，，

又，

所以，即．

【解题方法】利用正弦定理研究三角形或者四边形中的边角问题时，应该先确定需要研究的边或者角，在哪个三角形中研究，再利用正弦定理，转化边角关系，得到等量关系求解.

【变式练习】

如图，在平面四边形中，已知，．

设，，若，，求面积的最大值．

【答案】.

【解析】

在中，由，可得

即，所以或，

即或，.

因为，故或，

因为所以或，所以是等边三角形或直角三角形.

设，在中，由正弦定理可得，

故即.

当是等边三角形时，

；

当是直角三角形时，

；

因为，所以当时，取得最大值1，

因为，所以面积的最大值为

小结：

1．正弦定理的推论：设R是△ABC外接圆的半径，则＝＝＝2R.

2．正弦定理的变形(R是△ABC外接圆的半径)：

(1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；

(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C.