高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线习题

3.2.2　双曲线的简单几何性质

基础过关练

题组一　双曲线性质的简单应用

1.已知双曲线方程为x2-8y2=32,则(　　)

A.实轴长为4,虚轴长为2

B.实轴长为8,虚轴长为4

C.实轴长为2,虚轴长为4

D.实轴长为4,虚轴长为8

2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于　(　　)

A.- B.-4 C.4 D.

3.设F1和F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(　　)

A. B.2 C. D.3

4.如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为(　　)

A. B. C. D.2

5.双曲线+=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是　　　　. 

题组二　双曲线的渐近线及其应用

6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率是2,则其渐近线方程为(　　)

A.x±y=0 B.x±y=0

C.2x±y=0 D.x±2y=0

7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的方程为(　　)

A.x2-y2= B.x2-y2=1

C.x2-y2= D.x2-y2=2

8.双曲线-=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于　(　　)

A. B.3 C.4 D.2

9.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的离心率为(　　)

A. B. C. D.2

10.经过点A(2,-2)且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为　　　　　　　　. 

题组三　直线与双曲线的位置关系

11.若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是(　　)

A.(-,-1) B.(1,)

C.(-,) D.(-1,1)

12.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

13.已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则直线l共有(　　)

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

14.过双曲线x2-=1的左焦点F1,作倾斜角为的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 

15.双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求△AFB的面积.

能力提升练

题组一　双曲线性质的简单应用

1.(2020广东惠州高二上期末,)已知点F是双曲线-=1的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 (　　)

A.(1,+∞) B.(1,2)

C.(2,1+) D.(1,1+)

2.()已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),设左,右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,在C的右支上存在一点P,使得以F1F2,F2P为邻边的平行四边形为菱形,且直线PF1与圆(x-c)2+y2=c2相切,则该双曲线C的离心率为(　　)

A. B. C. D.2

3.(2020湖北荆州沙市中学高二上期中,)已知F为双曲线-=1的一个焦点,B为双曲线虚轴的一个端点,以坐标原点O为圆心,半焦距为直径的圆恰与直线BF相切,则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D.2

4.()有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,点A为两曲线的一个公共点,且满足∠F1AF2=90°,则+的值为　　　　. 

题组二　双曲线的渐近线及其应用

5.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(　　)

A.-=1 B.-=1

C.-=1 D.-=1

6.(多选)(2020山东师大附中高二上第五次学分认定考试,)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左,右焦点,P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且·=0,则下列结论正确的是(　　)

A.双曲线C的渐近线方程为y=±x

B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1

C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1

D.△PF1F2的面积为1

7.(2020北京西城高二上期末,)若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是　　　　. 

8.(2020山东潍坊高二上期末,)已知F为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若|OF|=|FB|,则双曲线E的离心率是　　　　. 

题组三　直线与双曲线的位置关系

9.(2020重庆一中高二上期中,)已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　易错　)

A.4x-3y+1=0 B.2x-y-1=0

C.3x-4y+6=0 D.x-y+1=0

10.()在平面直角坐标系Oxy中,已知点P(4,0),点A,B在双曲线C:-y2=1上,且=3,则直线AB的斜率为(　　)

A.± B.± C.±1　 D.±

11.(2019江西南昌二中高二上期中,)已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程;

(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.

(i)无论直线l绕点F2怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求实数m的值;

(ii)在(i)的条件下,求△MPQ面积的最小值.

答案全解全析

基础过关练

1.B　双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为-=1,可得a=4,b=2,所以双曲线的实轴长为8,虚轴长为4.

2.A　双曲线方程化为标准方程为y2-=1,则有a2=1,b2=-.由题意得,2=,解得m=-.

3.B　如图,由题意得=tan 60°,∴=,∴4b2=3c2,

∴4(c2-a2)=3c2,∴c2=4a2,∴=4,∴e=2.故选B.

4.A　由椭圆的离心率为,得=,

∴a2=4b2,∴在双曲线中,c2=a2+b2=a2,

∴双曲线的离心率e===.

5.答案　(-12,0)

解析　双曲线方程化为标准方程得-=1,则a2=4,b2=-k,所以c2=4-k,所以e==.

因为e∈(1,2),

即1<<2,

所以-12<k<0.

6.A　由离心率e==2得,c=2a,∴b=a.

令-=0得,y2=x2,因此,y=±x,

即y=±x=±x,故选A.

7.D　因为曲线-=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,所以a2=b2,

所以c==a,

即焦点的坐标为(±a,0),

其渐近线方程为x±y=0,

因为焦点到渐近线的距离为,

所以=a=,

则双曲线的标准方程为-=1,即x2-y2=2.故选D.

8.C　双曲线-=1的一个焦点坐标是(5,0),一条渐近线的方程为y=x,此焦点到渐近线的距离d==4.

9.A　由题意知,这条渐近线的斜率为,即=,从而e====.

10.答案　-=1

解析　与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为-y2=λ(λ≠0),

∵双曲线过点(2,-2),∴λ=-(-2)2=-2,

因此,-y2=-2,即-=1,故答案为-=1.

11.D　当直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点,

∵直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,

∴k的取值范围为(-1,1),故选D.

12.D　由得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得

解得-<k<-1.

13.B　因为双曲线方程x2-=1的渐近线方程为y=±2x,所以过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=1或y=2x-2或y=-2x+2,共有3条,故选B.

14.答案　3

解析　依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=(x+2).

由得8x2-4x-13=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,

所以|AB|=·|x1-x2|

=

=

=3.

15.解析　由题意得,双曲线-=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=±x.

不妨设直线FB的方程为y=(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9,解得x=,y=-,所以B.

所以S△AFB=|AF||yB|=(c-a)·|yB|=×(5-3)×=.

能力提升练

1.B　若△ABE是锐角三角形,则∠AEF<45°,在直角三角形AEF中,|AF|=,|EF|=a+c,所以<a+c,

即2a2-c2+ac>0,所以e2-e-2<0,解得-1<e<2,又e>1,所以1<e<2,故选B.

2.B　由题意得PF2=F1F2=2c,设直线PF1与圆(x-c)2+y2=c2相切于点T,则PF1⊥TF2,TF2=c,在Rt△F1TF2中,∠TF2F1=60°⇒PF1=2c,则由双曲线的定义可得PF2=PF1-2a=2c-2a,所以2c=2c-2a⇒e==,故选B.

3.A　不妨设F(c,0),B(0,b),因此直线BF的方程为+=1,即bx+cy-bc=0,

依题意得,圆心到直线BF的距离d==⇒c2=3b2,

∴a2=c2-b2=2b2,∴e==,故选A.

4.答案　2

解析　设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),双曲线的标准方程为-=1(a'>0,b'>0),A为第一象限的点,|AF1|=m,|AF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a,

由双曲线的定义可得m-n=2a',

可得m=a+a',n=a-a',

由∠F1AF2=90°,可得m2+n2=(2c)2,

即(a+a')2+(a-a')2=4c2,整理得a2+a'2=2c2,则+=2,即+=2.

5.B　∵双曲线C的一条渐近线方程为y=x,∴设双曲线的标准方程为-=λ(λ>0),

∴a2=4λ,b2=5λ,从而c2=9λ.

又双曲线C与椭圆有公共焦点,∴c2=9λ=12-3=9⇒λ=1.

因此C的方程为-=1,故选B.

6.ACD　易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,选项A正确;由a=b=1得c=,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,选项B错误;不妨设F1(-,0),则F1到双曲线的一条渐近线的距离d==1,选项C正确;由·=0得,PF1⊥PF2,因此点P在圆x2+y2=2上,由得,y2=,∴|y|=,因此,=|F1F2|·|y|=×2×=1,选项D正确,故选ACD.

7.答案　2

解析　由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±x.

因此F(c,0)到一条渐近线的距离d==c,化简得,b2=3a2,

因此,c2=4a2,即c=2a,从而e==2.

8.答案　

解析　如图所示,过F向另一条渐近线引垂线,垂足为D.

由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±x,则F(c,0)到渐近线的距离d==b,即|FA|=|FD|=b,

则|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c,

∵△OFB为等腰三角形,

∴D为OB的中点,∴|OB|=2a,

∵AB⊥OA,

∴|OB|2=|OA|2+|AB|2=a2+(b+c)2,

即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,∴c=2b,

则2a=c,∴e==.

9.A　设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2-=2,2-=2,两式相减得,2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.

又x1+x2=4,y1+y2=6,

∴8(x1-x2)-6(y1-y2)=0⇒kPQ=,

因此直线PQ的方程为y-3=(x-2),即4x-3y+1=0,

经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交.

因此适合题意的直线方程为4x-3y+1=0,故选A.

易错警示　用“点差法”解决弦的中点问题,不能确保直线与双曲线相交,解题时,要防止遗漏验证而导致错误.

10.B　设直线AB的方程为x=my+4.

由得(m2-4)y2+8my+12=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

①

∵=(4-x1,-y1),=(x2-4,y2),=3,

∴y1=-3y2,代入①得,

⇒=.

化简得,m2=⇒m=±,

因此直线AB的斜率为=±,故选B.

11.解析　 (1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线的右支,

设轨迹E的方程为-=1(x≥1),a>0,b>0.

∵c=2,2a=2,∴b2=3,故轨迹E的方程为x2-=1(x≥1).

(2)(i)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),与双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,

∴

解得k2>3.

·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)·(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)

=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2

=-+m2+4k2

=+m2

=.

∵MP⊥MQ,∴·=0,

故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2>3恒成立,

∴

解得m=-1.

∴当m=-1时,MP⊥MQ.

当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立,

综上,当m=-1时,MP⊥MQ.

(ii)由(i)知M(-1,0),当直线l的斜率存在时,|PQ|=|x1-x2|=, 点M到直线PQ的距离为d,则d=,

∴S△MPQ=|PQ|d==

=9.

令k2-3=t(t>0),

则S△MPQ=9,

∵>0,

∴S△MPQ=9 >9.

当直线l的斜率不存在时,S△MPQ=×3×6=9.

综上可知,S△MPQ的最小值为9.