人教版新课标A选修2-12.4抛物线练习题

2.4.2　抛物线的简单几何性质

基础过关练

题组一　抛物线几何性质的应用

1.(2018湖南长沙高三上学期期末)已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是　(　　)

A.x=-1 B.y=-1 C.x=-2 D.y=-2

2.抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的曲线的焦点坐标为(　　)

A.(1,0) B.(-1,0) C. D.

3.设A,B是抛物线x2=4y上的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB=(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

4.已知抛物线的离心率为e,焦点为(0,e),则抛物线的标准方程为　　　　. 

5.已知抛物线y2=8x.

(1)写出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的取值范围;

(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.

题组二　抛物线的中点弦、焦点弦问题

6.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|=(　　)

A.5 B.6 C.8 D.10

7.设抛物线y2=9x与直线2x-3y-8=0交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为(　　)

A.    B.

C. D.

8.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)

A.x=1  B.x=-1 C.x=2  D.x=-2

9.已知直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程.

题组三　直线与抛物线的位置关系

10.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(　　)

A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点

D.直线与抛物线可能没有公共点

11.若直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则实数k的值为(　　)

A.1 B.1或3 C.0 D.0或1

12.若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax(a≠0)恰好有一个公共点,求实数a的取值集合.

13.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.

(1)求证:OA⊥OB;

(2)当△AOB的面积等于时,求k的值.

能力提升练

一、选择题

1.(2019四川成都双流中学高三月考,★★☆)过点(-1,0)且倾斜角为45°的直线与抛物线y2=4x的位置关系是(　　)

A.相交且有两个公共点  B.相交且有一个公共点

C.相切且有一个公共点    D.无公共点

2.(2019广东梅州高三质检,★★☆)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于点A,B,=3,抛物线的准线l与x轴交于点C,AM⊥l于点M,则四边形AMCF的面积为(　　)

A.12 B.12 

C.8  D.6

3.(2019湖北襄阳高三调研,★★☆)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若△OFM(O为坐标原点)的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p=(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

4.(2019吉林长春高三月考,★★☆)已知椭圆+=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A,B两点(点A在x轴上方),则的值为(　　)

A.  B.2 C.3 D.4

5.(2018广东佛山高二月考,★★☆)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则的值为(　　)

A.4 B.-4 C.p2 D.-p2

6.(2018江西宜春高二月考,★★★)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)

A.2 B.3 C.  D.

二、填空题

7.(2019四川成都石室中学高三开学考试,★★☆)已知抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F,O为坐标原点,点M在线段OB上,且|OB|=3|OM|,点N在射线OA上,且|ON|=3|OA|,过M,N分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为C,D,则|CD|的最小值为　　　. 

8.(2019安徽宣城高二期末,★★☆)已知抛物线E:y2=12x的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,过A作AM⊥l,垂足为M,AM的中点为N,若AM⊥FN,则|AB|=　　　. 

9. (2020北京丰台高三期末,★★★)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,则F的坐标为　　　　;过点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=4,则△AOB的面积为　　　　. 

10.(2018云南质检,★★★)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是　　　　. 

三、解答题

11.(2019河北石家庄二中高二月考,★★☆)在直角坐标系xOy中,抛物线C:y=与直线l:y=kx+4交于M,N两点.

(1)当k=0时,求抛物线C在点M和N处的切线方程;

(2)在y轴上是否存在一点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?请说明理由.

12.(2018湖南六校联考,★★★)如图所示,已知点M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,直线AM,BM的斜率互为相反数,且与抛物线另交于A,B两个不同的点.

(1)求点M到其准线的距离;

(2)求证:直线AB的斜率为定值.

答案全解全析

基础过关练

1.A　如图所示,过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线FB,垂足分别为C,B,由题意得∠BFA=∠OFA-90°=30°,所以|AB|=|AF|·sin 30°=2,A点到准线的距离d=|AB|+|BC|=p+2=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1,故选A.

2.B　设抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的曲线为Q,易知Q为抛物线,其焦点与抛物线x2=4y的焦点关于直线x+y=0对称,因为抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1),所以Q的焦点坐标为(-1,0).故选B.

3.D　由|OA|=|OB|,知抛物线上的点A,B关于y轴对称,设A,B(a>0),则S△AOB=×2a×=16,解得a=4,所以|AB|=8,|OA|=|OB|=4,所以∠AOB=90°.

4.答案　x2=4y

解析　由e=1,得焦点为(0,1),所以抛物线的标准方程为x2=4y.

5.解析　(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的取值范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.

(2)不妨令点A位于x轴上方,点B位于x轴下方,如图所示,由|OA|=|OB|,可知AB⊥x轴,设垂足为M,又焦点F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.

因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,

所以M(3,0),故设A(3,m).

代入y2=8x,得m2=24,

所以m=2或m=-2,

所以A(3,2),B(3,-2),

所以|OA|=|OB|=,|AB|=4,

所以△OAB的周长为2+4.

6.C　抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,因为P1(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点,所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)到准线的距离分别是y1+1,y2+1,所以|P1P2|=y1+y2+2=8.

7.B　由2x-3y-8=0,得x=y+4,

代入y2=9x,得y2-y-36=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点坐标为(x0,y0),则y0==,

x0===(y1+y2)+4=y0+4=,故AB的中点的坐标为.故选B.

8.B　抛物线的焦点坐标为,所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y=x-,即x=y+,代入y2=2px得y2=2py+=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,又由题意得=2,所以2p=4,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.

9.解析　易知抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),

若直线l与x轴垂直,则直线l的方程为x=1,

此时|AB|=4,不合题意,

所以可设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).

由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,得x1+x2=.

又AB过焦点,所以由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=+2=8,

所以=6,解得k=±1.

所以直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.

10.C　因为直线y=kx-k=k(x-1),

所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部,

所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;

当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.

故选C.

11.D　当k=0时,直线方程为y=2,此时直线与抛物线的对称轴平行,易知直线与抛物线只有一个交点;

当k≠0时,联立方程消去y,得k2x2+(4k-8)x+4=0,

令Δ=(4k-8)2-16k2=0,解得k=1.

综上,当直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点时,k=0或k=1.

12.解析　联立方程消去y并整理,得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0(*).

因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,所以方程(*)有唯一解或两个相等的实数解.

(1)当a+1=0,即a=-1时,方程(*)是关于x的一元一次方程,解得x=-1,方程(*)有唯一解,满足题意.

(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程(*)是关于x的一元二次方程.

令Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=0(舍去)或a=-.

此时, 方程(*)有两个相等的实数解.

综上,实数a的取值集合是.

13.解析　(1)证明:易知直线OA,OB的斜率均存在,且k≠0.联立消去x并整理,得ky2+y-k=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-1.

所以kOA·kOB=·=·==-1,

所以OA⊥OB.

(2)设直线y=k(x+1)与x轴交于点N,如图.

易知直线过定点(-1,0),即N(-1,0),

所以S△OAB=S△OAN+S△OBN

=|ON||y1|+|ON||y2|

=|ON||y1-y2|

=×1×

=×=,

所以k=±.

能力提升练

一、选择题

1.C　过点(-1,0)且倾斜角为45°的直线方程为y=x+1,将其代入y2=4x,得x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,∴方程有两个相等实数根,∴该直线与抛物线y2=4x有唯一公共点且相切.

2.A　如图,过点B作BN⊥l于点N,BK⊥AM于点K.

设|BF|=m,则|AF|=|AM|=3m,|BN|=m,|AB|=4m,∴|AK|=|AM|-|BN|=2m,

∴∠BAM=60°,∴∠BFC=60°,∴|CF|=|BN|+|BF|=m=2,∴m=,

∴|AM|=3m=4,|MC|=|AF|sin 60°=3m×=2,

∴S四边形AMCF=(|CF|+|AM|)·|MC|=×(2+4)×2=12.

3.D　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵圆的面积为36π,∴圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,∴+=6,∴p=8.故选D.

4.C　椭圆+=1的右焦点为(1,0),所以=1,解得p=2,则y2=4x,易得直线AB的方程为y=(x-1).

联立方程消去y,得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=.

则点A的横坐标xA=3,点B的横坐标xB=,

所以===3.

5.B　解法一:(特例法)当直线垂直于x轴时,A,B,

则==-4.故选B.

解法二:当直线斜率存在时,设直线方程为y=k.由得y2-y-p2=0,可得y1y2=-p2,

则====-4.

6.B　设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),直线AB的方程为x=ty+m(m>0),与抛物线方程y2=x联立,消去x,得y2-ty-m=0,

故ab=-m,

易知m为直线AB与x轴交点的横坐标,且m>0.

由·=2,得a2b2+ab=2,

故ab=-2或ab=1(舍去),

所以m=2,

所以△ABO的面积等于m|a-b|=|a-b|=,

△AFO的面积等于×|a|=,

所以△ABO与△AFO的面积之和为+=+

≥2=3,当且仅当|a|=,即|a|=时,等号成立.故选B.

二、填空题

7.答案　4

解析　抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),又直线AB过点(1,0),所以设直线AB的方程为y=k(x-1),与抛物线的方程联立,消去x,得y2-y-4=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则y1+y2=,y1y2=-4,

所以|CD|===|y2|+≥2=4当且仅当|y2|=,即|y2|=6时取等号,则|CD|的最小值为4.

8.答案　16

解析　由题意画出图象,如图所示.

∵|AF|=|AM|,N为AM的中点,

∴|AN|=|AM|=|AF|.

又FN⊥AM,∴∠AFN=30°,

则直线AB的倾斜角为60°,斜率为.

又直线AB过抛物线y2=12x的焦点F(3,0),则直线AB的方程为y=(x-3).

由得x2-10x+9=0,

则xA+xB=10,∴|AB|=xA+xB+6=16.

9.答案　(1,0);

解析　由抛物线C:y2=4x,可得焦点坐标为(1,0).

设A(x0,y0),则|AF|=x0+=x0+1=4,故x0=3.

根据抛物线的对称性,不妨设A在第一象限,则y0=2,

故kAB==,故直线AB:y=(x-1).

由可得3x2-10x+3=0,

解得或

所以S△AOB=×1×=.

10.答案　(-∞,2]

解析　设点Q的坐标为,

由|PQ|≥|a|,得+≥a2,

整理,得(+16-8a)≥0,

因为≥0,

所以+16-8a≥0,

即a≤2+恒成立.

而2+的最小值为2,

所以a≤2.

三、解答题

11.解析　(1)当k=0时,直线l的方程为y=4,联立解得或

不妨令点M的坐标为(4,4),点N的坐标为(-4,4).

设过点M(4,4)的切线方程为y=m(x-4)+4,

联立消去y,得x2-4mx+16m-16=0.

令Δ=16m2-4(16m-16)=0,即m2-4m+4=0,解得m=2,即过点M的切线方程为y=2x-4.

根据抛物线的对称性可知,过点N(-4,4)的切线与直线y=2x-4关于y轴对称,即过点N的切线方程为y=-2x-4.

综上,过点M和点N的切线方程为y=2x-4和y=-2x-4.

(2)存在符合题意的点,理由如下:

设P(0,b),M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.

联立消去y,得x2-4kx-16=0,

故x1+x2=4k,x1x2=-16,

从而k1+k2=+=+==.

当b=-4时,有k1+k2=0,则直线PM与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-4)符合题意.

12.解析　(1)因为M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,

所以32=4a,a=,

所以M.

因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,

所以点M到其准线的距离为-(-1)=.

(2)证明:由题意知直线AM,BM的斜率存在且不为0,设直线AM的方程为y-3=k,

由得y2-y+-9=0.

所以yA+3=,

所以yA=-3.

因为直线AM,BM的斜率互为相反数,

所以直线BM的方程为y-3=-k.

同理可得yB=-3只需将yA=-3中的k换为-k.

所以kAB=====-.

所以直线AB的斜率为定值-.