高中数学北师大版必修21.1直线的倾斜角和斜率课后作业题

第二章　§1　1.1

一、选择题

1．直线l的倾斜角α的范围是(　　)

A．0°<α<180°　　　　 B．0°<α≤180°

C．0°≤α<180° D．0°≤α<180°且α≠90°

[答案]　C

[解析]　由倾斜角的定义和规定知0°≤α<180°.

2．给出下列命题：

①任何一条直线都有唯一的倾斜角；

②一条直线的倾斜角可以为－30°；

③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；

④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映射关系．

正确命题的个数(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

[答案]　A

[解析]　由倾斜角α∈[0°，180°)知②不对；

又平行于x轴的直线的倾斜角都是0°有无数条，

∴③不对；

同样的道理，④不对，只有①是正确的．

3．已知直线l的斜率为，则它的倾斜角为(　　)

A．60° B．120°

C．60或120° D．150°

[答案]　A

[解析]　因为tan60°＝，故直线的倾斜角为60°.

4．已知A(a,2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为(　　)

A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2

C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1

[答案]　D

[解析]　根据斜率不存在，只要两点横坐标相同即可．

5．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点在同一条直线上，则m的值为(　　)

A．－2 B．2

C．－ D．

[答案]　D

[解析]　A，B，C三点在同一条直线上，则kAB＝kAC，所以＝，解得m＝.

6．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1<k2<k3

B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1

D．k1<k3<k2

[答案]　D

[解析]　由题图可知直线l1的倾斜角为钝角，所以k1<0；直线l2与直线l3的倾斜角均为锐角，且直线l2的倾斜角较大，所以k2>k3>0.所以k2>k3>k1.

二、填空题

7．已知点A(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则B点的坐标为__________．

[答案]　(1,0)或(0，－2)

[解析]　本题分B点在x轴上和y轴上两种情况讨论．

若B点在x轴上，则设B点坐标为(x,0)，

由题意知＝2，解得x＝1，即B(1,0)；

若B点在y轴上，则设B点坐标为(0，y)，

由题意知＝2，解得y＝－2，即B(0，－2)．

∴点B的坐标可以为(1,0)或(0，－2)．

8．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．

[答案]　(－5,0)

[解析]　设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝，kPB＝，于是＝2·，解得x＝－5.

三、解答题

9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时，(1)直线l与x轴平行；(2)l与y轴平行；(3)l的斜率为.

[解析]　由k＝＝，得

(1)若l与x轴平行，则k＝0，

∴m＝1；

(2)若l与y轴平行，则k不存在，只需m＝－1即可．

(3)若l的斜率k＝，需＝，

∴3－3m＝m＋1，∴m＝.

10．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．

[解析]　∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，

∴kAB＝＝2，

kAC＝＝2.

∴kAB＝kAC.

∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，

∴直线AB与直线AC为同一直线．

故A，B，C三点共线.

一、选择题

1．设直线l1与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线l2的倾斜角为α＋45°，则(　　)

A．0°≤α<90° B．0°≤α<135°

C．0°<α≤135° D．0°<α<135°

[答案]　D

[解析]　由于直线l1与x轴相交，可知α≠0°，又α与α＋45°都是直线的倾斜角，

∴

解得0°<α<135°.

2．下列各选项中，三点共线的是(　　)

A．P(－2,3)，Q(3，－2)，R

B．P(－2,3)，Q(3，－3)，R

C．P(0,0)，Q(1,1)，R(1，－1)

D．P(1,1)，Q(2，－1)，R(3,2)

[答案]　A

[解析]　对于选项A，kPQ＝＝－1，

kQR＝＝－1，所以三点共线；

对于选项B，kPQ＝＝－，

kQR＝＝－1，故三点不共线；

对于选项C，kPQ＝1，直线QR的斜率不存在，故三点不共线；

对于选项D，kPQ＝＝－2，kQR＝＝3，故三点不共线．

二、填空题

3．已知直线l1的倾斜角是α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为________．

[答案]　0°或180°－α1

[解析]　当α1＝0°时，α2＝0°；当0°<α1<180°时，α2＝180°－α1.

4．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________．

[答案]　(－2,1)

[解析]　k＝＝<0，<0，

∴(t－1)(t＋2)<0，由二次函数与二次不等式关系知－2<t<1.

三、解答题

5．已知点P(x，y)在点A(1,1)、B(3,1)、C(－1,6)为顶点的三角形内部及边界上运动，求kOP(O为坐标原点)的取值范围．

[解析]　作出△ABC如图所示，过O点作直线OP，由图形知当OP过B点时，随着直线OP逆时针旋转kOP越大，而OP过C点时随着OP绕O点顺时针旋转，kOP越小．

∵kOB＝，kOC＝－6.

∴kOP≥或kOP≤－6.

6．一条光线从点A(－2,3)射入，经过x轴上点P反射后，经过点B(5,7)，求点P的坐标．

[解析]　因为点A在入射光线上，所以点A关于镜面x轴的对称点A′在反射光线的反向延长线上，设P点的坐标为(x,0)，A′的坐标(－2，－3)，

则A′，P，B三点在同一条直线上，即kA′P＝kA′B，

也就是＝，解之可得x＝，

所以P点的坐标为(，0)．

7．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．

(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．

[解析]　(1)由斜率公式得

kAB＝＝0，kBC＝＝，

kAC＝＝.

∵tan0°＝0，

∴直线AB的倾斜角为0°.

∵tan60°＝，

∴直线BC的倾斜角为60°.

∵tan30°＝，

∴直线AC的倾斜角为30°.

(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为[，]．