高中2.3直线与圆、圆与圆的位置关系随堂练习题

一、选择题

1.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为(　B　)

(A)y=-2x     (B)y=2x

(C)y=2x-8  (D)y=2x+4

解析:设P(x,y),R(x1,y1),

由=知,点A是线段RP的中点,

所以即

因为点R是直线l上的点,

所以-y=2(2-x)-4.即y=2x.

故选B.

2.已知圆O:x2+y2=4,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上),M在直线PP1上,且=2,则动点M的轨迹方程是(　D　)

(A)4x2+16y2=1 (B)16x2+4y2=1

(C)+=1     (D)+=1

解析:由题意可知P是MP1的中点,

设M(x,y),P(x0,y0),P1(0,y0),

则

又+=4,故()2+y2=4,

即+=1.故选D.

3.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程是(　B　)

(A)y2=8x (B)y2=-8x

(C)y2=4x (D)y2=-4x

解析:根据||·||+·=0,

得4+4(x-2)=0,

化简得y2=-8x.故选B.

4.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由椭圆和双曲线有相同的焦点,可得a2-b2=m2+n2=c2,由c是a,m的等比中项,可得c2=am;由n2是2m2与c2的等差中项,可得2n2=2m2+c2.可得m=,n2=+c2,即有+c2=c2,化简可得,a2=4c2,即有e==.故选D.

5.设a,b是关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为(　A　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0有两个不等实根为t1=0,t2=-tan θ(tan θ≠0),则过A,B两点的直线方程为y=   -xtan θ,双曲线-=1的渐近线为y=±xtan θ,所以直线y=-xtan θ与双曲线没有公共点.故选A.

6.动点P为椭圆+=1(a>b>0)上异于椭圆顶点A(a,0),B(-a,0)的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,动圆M与线段F1P,F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的(　D　)

(A)抛物线 (B)椭圆

(C)双曲线的右支 (D)一条直线

解析:如图,设切点分别为E,G,D,由切线长相等可得

|F1E|=|F1G|,|F2D|=|F2G|,|PD|=|PE|.由椭圆的定义可得 |F1P|+|PF2|=|F1P|+|PD|+|DF2|=|F1E|+|DF2|=2a,即|F1E|+|GF2|=2a,也即|F1G|+|GF2|=2a,故点G与点A重合,所以点M的横坐标是x=a,即点M的轨迹是一条直线(除去A点),故选D.

7.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是(　D　)

解析:当P沿AB运动时,x=1,设P′(x′,y′),则(0≤y≤1),故y′=1-(0≤x′≤2,0≤y′≤1).当P沿BC运动时,y=1,则(0≤x≤1),所以y′=-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0),由此可知P′的轨迹如D所示,故选D.

二、填空题

8.已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为　　　　　　　. 

解析:设A(x,y),则D(,),

所以|CD|==3,

化简得(x-10)2+y2=36,

由于A,B,C三点构成三角形,

所以A不能落在x轴上,即y≠0.

答案:(x-10)2+y2=36(y≠0)

9.已知☉O的方程是x2+y2-2=0,☉O′的方程是x2+y2-8x+10=0,若由动点P向☉O和☉O′所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是　　　　. 

解析:设P(x,y),切点分别为A,B,

由☉O′的方程为(x-4)2+y2=6及已知|AP|=|BP|,

知|OP|2-|AO|2=|O′P|2-|O′B|2,

即|OP|2-2=|O′P|2-6,

所以x2+y2-2=(x-4)2+y2-6.

所以x=,

故动点P的轨迹方程是x=.

答案:x=

10.点P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q,则点Q的轨迹方程是　　　　. 

解析:如图,由题意知|QP|=|QF|.

又|QP|=|QC|±|CP|,

所以|QF|-|QC|=±|CP|,

即||QF|-|QC||=|CP|=2,

所以点Q的轨迹是以F,C为焦点,实轴长为2的双曲线,其方程为x2-=1.

答案:x2-=1

11.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos ∠F1PF2=　　　. 

解析:因为a=b=,所以c=2.

由得|PF1|=4,|PF2|=2,

由余弦定理得

cos ∠F1PF2==.

答案:

12.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　. 

解析:如图,

e===

==-1,

所以|PF2|=.

又因为a-c<|PF2|<a+c,

所以a-c<<a+c,

解得<-1-(舍去)或>-1,即e>-1.

又因为0<e<1,所以-1<e<1.

答案:(-1,1)

13.若抛物线y=x2上存在两点关于直线l:y=m(x-3)对称,则m的取值范围为　　　　. 

解析:法一(联立方程)设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上关于l对称的两个点,设线段AB的中点为P(x0,y0),

又直线l与直线AB垂直,故可设直线AB的方程为y=-x+n,将其代入y=x2得mx2+x-mn=0.

因为x1,x2是该方程的两个根,故x0=(x1+x2)=-,又点P在直线l上,

所以y0=m(x0-3)=m(--3)=-3m-,

又因为点P在抛物线内,

所以<y0,即<-3m-,

也就是12m3+2m2+1<0,

即(2m+1)(6m2-2m+1)<0,

又6m2-2m+1>0恒成立,所以m<-.

法二　(点差法)显然m≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上关于l对称的两个点,设线段AB的中点为 P(x0,y0),

则kAB===x1+x2=2x0,

又直线l与直线AB垂直,所以2x0=-,

即x0=-,下同法一略.

答案(-∞,-)

三、解答题

14.已知椭圆C:+=1,点A(3,0),P是椭圆C上的动点.

(1)若直线AP与椭圆C相切,求点P的坐标;

(2)若P在y轴的右侧,以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上,求四边形OPAB面积的最小值.

解:(1)设直线AP的方程为x=my+3,

联立消去x可得(m2+3)y2+6my+3=0,

故Δ=12(2m2-3)=0,解得m=±,

从而y2±3y+3=0,解得y=±,x=2.所以,点P的坐标为(2,±).

(2)设线段AP的中点为D.因为△ABP是以AP为底边的等腰三角形,故BD⊥AP.

由题意,设P(x0,y0)(-<y0<),则点D的坐标为(,),

且直线AP的斜率kAP=,故直线BD的斜率为-=,

从而直线BD的方程为y-=(x-).

又+=1,

令x=0,得y=,

化简得B(0,).

所以,四边形OPAB的面积S四边形OPAB=S△OAP+S△OAB

=×3×|y0|+×3×||

=(|y0|+||)=(2|y0|+)

≥×2=3.

当且仅当y0=±∈[-,]时等号成立.

所以,四边形OPAB面积的最小值为3.

巩固提高B

一、选择题

1.已知△ABC中,A,B的坐标分别为(0,2)和(0,-2),若三角形的周长为10,则顶点C的轨迹方程是(　C　)

(A)+=1(y≠0)  (B)+=1(y≠0)

(C)+=1(x≠0)  (D)+=1(x≠0)

解析:由题|AB|=4,|CA|+|CB|=6,且6>|AB|,所以C点轨迹是以A,B为焦点,6为长轴长,4为焦距的椭圆,去掉长轴端点,故选C.

2.已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈(,1),则实数m的取值范围是(　C　)

(A)(0,)          (B)(,+∞)

(C)(0,)∪(,+∞) (D)(,1)∪(1,)

解析:椭圆标准方程为x2+=1.当m>1时,e2=1-∈(,1),解得m>;当0<m<1时,e2==1-m∈(,1),解得0<m<,故实数m的取值范围是(0,)∪(,+∞).

故选C.

3.若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆共(　D　)

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)4个

解析:因为F(1,0),m2=4×4,

所以m=±4,

所以MF中垂线方程为6x±8y-31=0,与抛物线有四个交点,所以满足条件的圆有四个.

故选D.

4.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(　B　)

(A)x+y=5  (B)x2+y2=9

(C)+=1  (D)x2=16y

解析:因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.

A项,直线x+y=5过点(5,0),(0,5),故直线与M的轨迹有交点,满足  题意;

B项,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;

C项,+=1的右顶点为(5,0),故椭圆+=1与M的轨迹有交点,满足题意;

D项,方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,Δ>0即有交点,满足题意.

5.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:在△ABP中,由正弦定理得===.故选A.

6.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的两支分别交于点P,Q,若△PQF2为等边三角形,则双曲线C的离心率为(　A　)

(A)   (B)   (C)   (D)7

解析:设|PF1|=n,|PQ|=|QF2|=|PF2|=m,根据双曲线的定义有n=2a, m=4a,在三角形PF1F2中,∠F1PF2=,由余弦定理得4c2=(2a)2+(4a)2- 2·2a·4a·cos,化简得e2=7,e=.故选A.

7.将双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫作双曲线的“黄金三角形”,则双曲线C:x2-y2=4的“黄金三角形”的面积是(　B　)

(A)-1 (B)2-2

(C)1   (D)2

解析:由x2-y2=4,得-=1,

则a2=b2=4,所以a=2,b=2,c=2,

则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为(2,0),(2,0),(0,2),

故所求“黄金三角形”的面积S=×(2-2)×2=2-2.故选B.

8.过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且直线l的倾斜角θ≥,点A在x轴上方,则|FA|的取值范围是(　D　)

(A)(,1)   (B)(,+∞)

(C)(,+∞) (D)(,1+]

解析:记点A的横坐标是x1,则有|AF|=x1+=(+|AF|cos θ)+= +|AF|cos θ,

|AF|(1-cos θ)=,|AF|=.

由≤θ<π得-1<cos θ≤,2-≤2(1-cos θ)<4,<≤=1+,

即|AF|的取值范围是(,1+).故选D.

二、填空题

9.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1作直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率等于　　　. 

解析:由题意知∠F1MF2=90°,|MF2|=c,|F1F2|=2c,

所以∠MF1F2=30°.

因为|MF1|+|MF2|=2a,

所以|MF1|=2a-|MF2|=2a-c,

所以2a-c=c,

所以==-1,

即离心率e=-1.

答案:-1

10.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率等于　　　. 

解析:不妨设点P在双曲线右支上,

则|PF1|-|PF2|=2a.

又|PF1|+|PF2|=6a,

所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.

又c>a,所以在△PF1F2中,∠PF1F2为最小内角,∠PF1F2=30°.

在△PF1F2中,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c·cos 30°,

即c2-2ac+3a2=0,

两边同除以a2,得e2-2e+3=0,

解得e=.

答案:

11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线C的离心率为2,△AOB的面积为,则△AOB的内切圆半径为　　　. 

解析:由e====2,

可得=.

由解得A(-,),B(-,-),

所以=××=.

将=代入,得p2=4,解得p=2.

所以A(-1,),B(-1,-),则△AOB的三边长分别为2,2,2,

设△AOB的内切圆半径为r,

由(2+2+2)r=,解得r=2-3.

答案:2-3

12.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为　　　. 

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B在抛物线上,所以=4x1,=4x2,两式作差得-=4(x1-x2),所以直线AB的斜率k====1,直线l的方程为y-2=x-2即x-y=0.

答案:x-y=0

13.已知△ABC的顶点A,B坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin B+sin A=sin C,则C点的轨迹方程为　　　　.　 

解析:由sin B+sin A=sin C可知b+a=c=10,

则|AC|+|BC|=10>8=|AB|,所以满足椭圆定义.

令椭圆方程为+=1,

则a′=5,c′=4,b′=3,

则轨迹方程为+=1(x≠±5).

答案:+=1(x≠±5)

14.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB的倾斜角的正弦值为　　　　. 

解析:由题意知F(1,0),当直线的斜率存在时,

设直线方程为y=k(x-1)(k≠0),

由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,

则x1+x2=,①

x1x2=1,②

+=+===1.

当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2,

故+=1.

设|AF|=a,|BF|=b,则+=1,

所以|AF|+4|BF|=a+4b=(+)(a+4b)=5++≥9,当且仅当a=2b时取 等号,

故a+4b的最小值为9,

此时直线的斜率存在,且x1+1=2(x2+1),③

联立①②③得,x1=2,x2=,k=±2,

故直线AB的倾斜角的正弦值为.

答案:

三、解答题

15.已知两个不同的动点A,B在椭圆+=1上,且线段AB的垂直平分线恒过点P(0,-1).求:

(1)线段AB中点M的轨迹方程;

(2)线段AB长度的最大值.

解:(1)法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),易知直线AB的斜率   存在,

设直线AB的方程为y=kx+m,与+=1联立得

(2+k2)x2+2kmx+m2-8=0,

则x0==-,y0=kx0+m=,

所以,kMP===-,

得m=-(2+k2).

于是,y0==-2.

从而,线段AB中点M的轨迹方程为

y=-2(-<x<).

法二　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)易知直线AB的斜率存在.

+=1,+=1,

则+=0,

得=-,

又·=-1,得y0=-2.

从而,线段AB中点M的轨迹方程为

y=-2(-<x<).

(2)由(1)知,直线AB的斜率k=x0,

所以直线AB的方程为y+2=x0(x-x0)与椭圆方程联立

得(+2)x2-2x0(+2)x++4-4=0,

则x1+x2=2x0,x1x2=,

于是,|AB|=|x1-x2|

=

=2≤2,

当x0=0时取等号,线段AB长度的最大值为2.

16.(2018·镇海5月)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),P(1,)在椭圆上,离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A,B,连接AF1,BF1并延长交椭圆C于D,E,连接DE,求kDE与k之间的函数关系式.

解:(1)由P(1,)在椭圆上,可得+=1,a=c,

又a2=b2+c2,可得a=,b=1,c=1,

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)设A(x0,y0),

则B(-x0,-y0),直线AD:x=y-1,

代入C:+y2=1,得[(x0+1)2+2]y2-2(x0+1)y0y-=0,

因为+=1,代入化简得(2x0+3)y2-2(x0+1)y0y-=0,

设D(x1,y1),E(x2,y2),则y0y1=,所以y1=,x1=y1-1,

直线BE:x=y-1,同理可得y2=,x2=y2-1,

所以kDE====

==3·=3k.