高中北师大版6.1垂直关系的判定课时训练

2020-2021学年北师大版必修二  6.1.1直线与平面垂直的判定 课时作业

一、选择题

1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)

A．α∥β，且mα　　　　　　　B．m∥n，且n⊥β

C．m⊥n，且nβ  D．m⊥n，且n∥β

解析：A中，由α∥β，且mα，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，mβ或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.

答案：B

2．下列表述正确的个数为(　　)

①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a平面α，bα，且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：①中b与α还可能平行、在平面内或斜交；②同①；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错误．

答案：A

3．直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能(　　)

A．平行  B．相交

C．异面  D．垂直

解析：∵直线l⊥平面α，∴l与α相交．

又∵mα，∴l与m相交或异面．

由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.

故l与m不可能平行．

答案：A

4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

C．若m⊥α，nα，则m⊥n

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

解析：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；

对于B，若m⊥α，m⊥n，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；

对于C，若m⊥α，nα，则m⊥n；故C正确；

对于D，若m∥α，m⊥n，则nα，n∥α或n与α相交；故D错误．

故选C.

答案：C

5．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A．异面  B．平行

C．垂直  D．不确定

解析：∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l⊥AC.

答案：C

6．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(　　)

A．A1D  B．AA1

C．A1D1  D．A1C1

解析：由题易知，A1C1⊥平面 BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.

答案：D

7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(　　)

A.  B．2

C．3  D．4

解析：如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.

因为PA⊥平面ABC，

所以PA⊥CD.

所以CB⊥平面PAD，

所以AD⊥BC.

在△ACD中，AC＝5，CD＝3，

所以AD＝4.

在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，

所以PD＝＝4.故选D.

答案：D

二、填空题

8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．

解析：

如图所示，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.

又PC⊥BD，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，

∴BD⊥AC，∴平行四边形ABCD为菱形．

答案：菱形

9．在三棱锥P－ABC中，最多有________个直角三角形．

解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．

答案：4

10．有下列四种说法，正确的序号是________．

①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.

解析：①正确；对于②，若直线nα，也可满足m⊥n，m⊥α，故②不正确；对于③，注意a，b需相交，才有l⊥α，所以③不正确；对于④，直线a不平行于平面α，直线a可以与平面α斜交或aα，故④不正确．

答案：①

11．已知点O为三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的________心．

解析：

当PA＝PB＝PC时，连接OA，OB，OC.

∵PA＝PB＝PC　∴PO⊥底面ABC

∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC

又∵PA＝PB＝PC　∴OA＝OB＝OC

∴O为△ABC的外心．

同理，当PA⊥BC，PB⊥AC时，

AO⊥BC，BO⊥AC，∴O为△ABC的垂心．

当P到三边AB，BC，CA的距离都相等，且点O在△ABC的内部时，有点O到三角形三边的距离相等，

所以点O为△ABC的内心．

答案：外　垂　内

12.

如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：

①AC⊥SB；

②AB∥平面SCD；

③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；

④AC⊥SO.

正确结论的序号是________．

解析：连接SO，如图所示，

因为四棱锥S－ABCD的底面为正方形，所以AC⊥BD.

因为SD⊥底面ABCD，

所以SD⊥AC，

因为SD∩BD＝D，所以AC⊥平面SBD，

因为SB平面SBD，所以AC⊥SB，则①正确；

因为AB∥CD，AB平面SCD，CD平面SCD，

所以AB∥平面SCD，则②正确；

因为SD⊥底面ABCD，

所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，

因为AD＝CD，SD＝SD，

所以∠SAD＝∠SCD，则③正确；

因为AC⊥平面SBD，SO平面SBD，

所以AC⊥SO，则④正确．

答案：①②③④

三、解答题

13．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD对角线的交点，而△CDE是等边三角形，棱EF∥BC，且EF＝BC，设BC＝CD.

求证：EO⊥平面CDF.

证明：如图，取CD的中点M，连接EM，FM，OM，FO.

∵四边形ABCD为矩形，

∴OM∥AD∥BC，

且OM＝AD＝BC.

又EF∥BC且EF＝BC.

∴四边形EFOM是平行四边形．

又△CDE是等边三角形，CM＝DM.

∴EM⊥CD，且EM＝CD＝CB＝EF，

∴四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.

∵CD⊥OM，CD⊥EM，EM∩OM＝M，

∴CD⊥平面EOM，EO平面EOM，从而CD⊥EO.

而FM∩CD＝M，

∴EO⊥平面CDF.

14.

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.

(1)求证：SD⊥平面ABC.

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，

所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，

由已知SA＝SB，

所以△ADS≌△BDS，所以∠SDA＝∠SDB，

因为∠SDA＝90°，

所以∠SDB＝90°，

所以SD⊥BD.

又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，

所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，

因为SD∩AC＝D，

所以BD⊥平面SAC.

15．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．

(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；

(2)若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．

证明：(1)由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.

∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.

∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，

∴AA1⊥C1D.∵AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.

(2)点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下．

∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.

易知A1B1＝，∵AA1＝，∴四边形AA1B1B为正方形．

又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，∴AB1⊥DF，又DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.

16．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证：

(1)EO∥平面PAD；

(2)PA∥平面DEB；

(3)DE⊥平面PBC；

(4)PB⊥平面DEF.

证明：(1)连接AC，BD，交于O，连接EO.因为底面ABCD是正方形，

所以点O是AC的中点．所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO，

因为EO平面PAD.PA平面PAD，

所以EO∥平面PAD.

(2)由(1)知，PA∥EO，

因为EO平面DEB，且PA平面DEB，

所以PA∥平面DEB.

(3)因为PD⊥底面ABCD，且BC底面ABCD，

所以PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形，

所以DC⊥BC，可得BC⊥平面PDC.

因为DE平面PDC，所以BC⊥DE.

又因为PD＝DC，E是PC的中点，所以DE⊥PC，又PC∩DE＝E.所以DE⊥平面PBC.

(4)由(3)知DE⊥平面PBC，

因为PB平面PBC，所以DE⊥PB.

又因为EF⊥PB，且DE∩EF＝E，

所以PB⊥平面DEF.