2020-2021学年6.2垂直关系的性质课时作业

2020-2021学年北师大版必修二  6.2垂直关系的性质 课时作业

一、选择题

1.

如图所示，对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是(　　)

A．α⊥β，α∩β＝l，b⊥l⇒b⊥β

B．α⊥β，α∩β＝l，bα⇒b⊥β

C．α⊥β，bα，b⊥l⇒b⊥β

D．α⊥β，α∩β＝l，bα，b⊥l⇒b⊥β

解析：根据面面垂直的性质定理知，D正确．

答案：D

2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：

①m∥n，m⊥α⇒n⊥α　②α∥β，mα，nβ⇒m∥n

③m∥n，m∥α⇒n∥α　④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β

其中正确命题的序号是(　　)

A．①③  B．②④

C．①④  D．②③

解析：由线面垂直的性质定理可知①正确；对于②，当α∥β，mα，nβ时，m与n可能平行也可能异面，故②不正确；对于③，当m∥n，m∥α时，n∥α或nα，故③不正确；对于④，由m∥n，m⊥α，得n⊥α，又α∥β，所以n⊥β，故④正确．故选C.

答案：C

3．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(　　)

A．a⊥β  B．a∥β

C．a与β相交  D．以上都有可能

解析：因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．故选D.

答案：D

4．已知两个平面垂直，下列说法：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线　②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线　③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面　④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确说法个数是(　　)

A．3  B．2

C．1  D．0

解析：如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①AD1平面AA1D1D，BD平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确．对于③，AD1平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，如果这点为交线上的点，可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直，④错误．故选C.

答案：C

5．如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么(　　)

A．α⊥γ且l⊥m  B．α⊥γ且m∥β

C．m∥β且l⊥m  D．α∥β且α⊥γ

解析：由mα，m⊥γ得α⊥γ，由l＝β∩γ，得lγ，所以m⊥l.故选A.

答案：A

6．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是(　　)

A．①②④  B．①②③

C．②③④  D．①③④

解析：设等腰直角△ABC的腰长为a，

则斜边BC＝a，

①因为D为BC的中点，所以AD⊥BC，

又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝AD，BD⊥AD，

BD平面ABD，

所以BD⊥平面ADC，又AC平面ADC，

所以BD⊥AC，故①正确；

②由①知，BD⊥平面ADC，CD平面ADC，

所以BD⊥CD，又BD＝CD＝a，

所以由勾股定理得BC＝·a＝a，

又AB＝AC＝a，所以△ABC是等边三角形，故②正确；

③因为△ABC是等边三角形，DA＝DB＝DC，

所以三棱锥D－ABC是正三棱锥，故③正确．

④因为△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，

则BF⊥AC，

所以∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，

由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误．综上所述，正确的结论是①②③.故选B.

答案：B

7．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　)

A．PE⊥AC

B．PE⊥BC

C．平面PBE⊥平面ABCD

D．平面PBE⊥平面PAD

解析：因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立．又PE平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.

答案：D

二、填空题

8．下列命题：

①α⊥β，l⊥α，mβ，则l∥m；

②α⊥β，lα，则l⊥β；

③α⊥β，l∥α，则l与β相交，或l∥β，或lβ.

其中正确的是________．

解析：根据面面垂直与线面平行的性质判断命题的对错．

答案：③

9.

如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．

解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，

∴CO⊥AB.

又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，

∴CO⊥平面ABD.

∵OD平面ABD，∴CO⊥OD，

∴△COD为直角三角形．

所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．

答案：6

10．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是________．

解析：因为平面PAC⊥平面PBC，

AC⊥PC，AC平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC.

所以AC⊥平面PBC.

又BC平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.

所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A，B两点)．

答案：以AB为直径的圆(除去A，B两点)

11．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出四个命题：

①若l⊥α，α⊥β，则lβ；②若l∥α，α∥β，则lβ；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.

则正确命题的个数为________．

解析：①错，可能有l∥β；②错，可能有l∥β；③正确；④错，也可能有l∥β，或lβ或l与β相交．

答案：1

12．设m，n为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：

①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.

上述命题中，其中假命题的序号是________．

解析：①若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行都可能，故①不正确；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故②正确；③若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故③不正确；④若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，故④正确．

答案：①③

三、解答题

13．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AA1的中点．求证：平面B1EC⊥平面BCC1B1.

证明：如图，取BC，B1C的中点分别为F，G，连接AF，EG，FG，

由E，F，G分别为AA1，BC，B1C的中点．

知FG綊BB1綊AE，

所以AEGF为平行四边形，

所以AF∥EG.

在直三棱柱中，由平面BCC1B1⊥平面ABC，且AF⊥BC，知AF⊥平面BCC1B1，

所以EG⊥平面BCC1B1.

又EG平面B1EC，

所以平面B1EC⊥平面BCC1B1.

14．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.求证：

(1)AF∥平面BDE；

(2)CF⊥平面BDE.

证明：(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1.

所以四边形AGEF为平行四边形，

所以AF∥EG.

因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE.

(2)如图，连接FG.

因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1.

所以四边形CEFG是菱形．

所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.

又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.又CF平面ACEF

所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.

15．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝，AD＝CD＝1.

(1)求证：BD⊥AA1；

(2)若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.

证明：(1)在四边形ABCD中，

因为AB＝BC，AD＝DC，

所以BD⊥AC，

又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，

BD平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，

又因为AA1平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.

(2)在三角形ABC中，因为AB＝AC，且E为棱BC的中点，所以AE⊥BC，

又因为在四边形ABCD中，AB＝BC＝CA＝，AD＝CD＝1.

所以∠ACB＝60°，∠ACD＝30°，

所以DC⊥BC，所以AE∥CD.

因为CD平面DCC1D1，AE平面DCC1D1，

故得AE∥平面DCC1D1.

16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并说明你的结论．

解析：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG.

因为△PAD为等边三角形，

所以PG⊥AD.

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，

G为AD的中点，所以BG⊥AD.

又BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.

因为PB平面PGB.

所以AD⊥PB.

(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.

证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF.

则EF∥PB，所以可得EF∥平面PGB.

在菱形ABCD中，GB∥DE，

所以可得DE∥平面PGB.

而EF平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE＝E，

所以平面DEF∥平面PGB.

因为△PAD为等边三角形，G为AD中点，

所以PG⊥AD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，且相交于AD，

PG平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，

所以平面PGB⊥平面ABCD，

所以平面DEF⊥平面ABCD.