高中数学北师大版必修11.2利用二分法求方程的近似解课后作业题

第四章　函数应用

§1　函数与方程

第1.2　利用二分法求方程的近似解

基础过关练

题组一　用二分法求方程近似解的概念

1.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是 (　　)

A.f(x)=3x-1  B.f(x)=x3

C.f(x)=|x|       D.f(x)=ln x

2.对于精度ε,说法正确的是 (　　)

A.ε越大,零点的精度越高

B.ε越大,零点的精度越低

C.重复计算次数就是ε

D.重复计算次数与ε无关

3.已知函数f(x)的图像如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为              (　　)

A.4,4   B.3,4       C.5,4 D.4,3

4.若函数f(x)在[a,b]上的图像为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)·f(b)<0, f(a)·f>0,则              (　　)

A.f(x)在上有零点 

B.f(x)在上有零点

C.f(x)在上无零点 

D.f(x)在上无零点

5.用二分法求函数f(x)在区间[a,b]内的零点的近似值时,需要的条件是　　　　.(填序号) 

①f(x)在[a,b]上连续不断;

②f(a)·f(b)<0;

③f(a)·f(b)>0;

④f(a)·f(b)≥0.

题组二　用二分法求方程近似解的过程

6.(2021陕西西安碑林高一上期中质检)用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,若已确定一根在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为              (　　)

A.(1.4,2)    B.(1,1.2)

C.(1,1.5)    D.(1.5,2)

7.在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是              (　　)

A.[1,4]    B.[-2,1]

C.    D.

8.(2020四川宜宾一中高一下月考)为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量和函数值的部分对应数据,如下表:

则方程2x+3x-7=0的近似解(精确到0.1)可取为 (　　)

A.1.4      B.1.39 C.1.32 D.1.3

9.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0, f(1)>0,则第二次应计算f(　　)的值. 

10.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算, f(0.625)<0, f(0.75)>0, f(0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为　　　　(精度为0.1).  

11.用二分法求方程x3+x2-8x-8=0的正无理根的近似值(精度为0.1).

题组三　二分法的应用

12.已知图像连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精度为0.01,取端点值为近似解)的近似值,那么应将区间(0,0.1)等分的次数至少为　　　　. 

13.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障,这是一条长为10 km,大约有200根电线杆的线路,设计一个能迅速查出故障所在的方案,维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)?

14.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0, f(0)>0, f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.

答案全解全析

第四章　函数应用

§1　函数与方程

第1.2　利用二分法求方程的近似解

基础过关练

1.C　选项C,令|x|=0,得x=0,即函数f(x)=|x|存在零点,但当x>0时, f(x)>0;当x<0时, f(x)>0,所以f(x)=|x|的函数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧的函数值同号,所以不能用二分法求零点的近似值.

2.B　依“二分法”的具体步骤可知,ε越大,零点的精度越低,计算次数越少.

3.D　图像与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;零点左、右函数值异号的有3个,所以可以用二分法求解的个数为3,故选D.

4.B　由f(a)·f(b)<0, f(a)·f>0可知f·f(b)<0,根据零点存在性定理可知f(x)在上有零点.

5.答案　①②

解析　由二分法的适用条件直接得解.

6.D　令f(x)=x3-2x-1,所以f(1)=-2,f(2)=3,由二分法知,计算f(1.5)=-0.625<0,

故f(1.5)<0,f(2)>0,所以方程的根位于区间(1.5,2)内.故选D.

7.D　∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],∴第三次所取的区间可能为,,,.

8.A　根据函数零点存在性定理,由题表可知,函数f(x)=2x+3x-7的零点介于1.375到1.437 5之间,

故方程2x+3x-7=0的近似解也介于1.375到1.437 5之间,

由于近似解精确到0.1,所以结合选项可知A符合题意.故选A.

9.答案　0.5

解析　由已知及二分法的解题步骤可知:第二次应计算f=f(0.5)的值.

10.答案　0.75(区间[0.687 5,0.75]内任意一个值均可)

解析　因为|0.75-0.625|=0.125>0.1,|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1,所以方程的近似解可以是0.75.

11.解析　原方程可以化为(x+1)(x2-8)=0,

显然方程的一个有理根是x=-1,而方程的无理根就是方程x2-8=0的根,

令f(x)=x2-8,则只需求出函数f(x)的正零点的近似值即可.

由于f(2)=-4<0, f(3)=1>0,因此取区间[2,3]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:

由于|2.812 5-2.875|=0.062 5<0.1,

因此原方程的正无理根的近似值可取为2.875.

12.答案　4

解析　设等分的次数为n,由<0.01,得2n>10,∴n的最小值为4,即将区间(0,0.1)等分的次数至少为4.

13.信息提取　①一条长为10 km,大约有200根电线杆的线路发生了故障;②设计一个能迅速查出故障所在大致位置的方案.

数学建模　本题以电路抢修为背景,构建函数模型,利用二分法的原理迅速确定故障所在的大致位置.可以参照二分法求函数零点近似值的方法,以减少工作量并节省时间.

解析　如图.

工人师傅首先从中点C检测,用随身带的话机向两端测试,若发现AC段正常,可见故障在BC段;再从线段BC的中点D检测,若发现BD段正常,可见故障在CD段;再从CD段的中点E检测;……,由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过n次检测,所剩线路的长度为 m,令≤100,即2n≥100,又26=64,27=128,故至多检测7次就能找出故障地点所在区域.

思想方法

利用二分法解决问题就是数学逼近思想的具体体现,它主要是通过取区间(或线路)的中点,依次使区间的长度(或焊接点个数)减半,逐步逼近函数的零点(或焊点),从而使问题得到解决.

14.证明　∵f(1)>0,

∴f(1)=3a+2b+c>0,

即3(a+b+c)-b-2c>0.

∵a+b+c=0,

∴a=-b-c,-b-2c>0,

∴-b-c>c,即a>c.

∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.

取区间[0,1]的中点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.

∵f(0)>0, f(1)>0,且f(x)的图像是连续的曲线,

∴函数f(x)在区间和上各有一个零点,

又f(x)为二次函数,最多有两个零点,

∴f(x)=0在[0,1]内有两个实数根.