高中数学北师大版必修11.2利用二分法求方程的近似解教学设计

“二分法求方程的近似解”教学设计

一、设计思路

1、指导思想：本节内容晦涩难懂，繁杂冗长，学生的学习兴趣很难提起，掌握本节内容就更加难以达到，因此，设计者预计通过做游戏，来提高学生的学习兴趣，让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想。体验求方程近似解的二分法的探究形成过程，感受方程与函数之间的联系；通过了解数学家的史料来培养学生数学素养，并增强其学习数学的兴趣；体会由特殊到一般的认识规律，体会概括结论和规律的过程，培养学生认识事物的正确方法．

2、教学目标：

（1）知识目标：理解用二分法求方程近似解的原理；

               能够借助计算器用二分法求方程的近似解。

（2）能力目标：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；

               在学习过程中，让学生感受近似、逼近的思想方法；

               培养学生利用信息技术和计算工具的能力。

（3）情感目标：培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。

（4）现代教学手段：利用多媒体动态展示二分法求方程近似解的过程，使学生更生动、更深刻的理解并掌握二分法的思想。

3、重点难点：

重点：理解二分法的基本思想，掌握运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程．

难点：理解精确度的概念，概括和理解求方程近似解的一般步骤

二、教学准备

根据教材的重难点分析，以及学生的学情分析，查找资料，决定以游戏的方式引导学生学习本节内容。游戏的思维方式和本节所受内容的思维方式如出一辙，因此，在学生对游戏产生兴趣的时候，将游戏的思维方式让学生尽快掌握，后面的教学内容学生就能类比掌握了。后面再以多媒体展示二分法的求解过程，让学生清楚明白的理解并掌握二分法求方程的近似解。

三、教学过程

（一）【游戏引入】

同学们，现在是幸运52现场直播，下面进行一个猜数字游戏：你们心里确定1～100这100个自然数中的一个，老师最多7次就能猜对你们心里的数字，只需要大家在老师猜的时候给一点提示就可以了。对于老师每次猜测的结果，大家的提示是“对了”或“大了”或“小了”。可以吗？

（首先，让一个学生想一个数字，老师来猜，猜中以后，会使学生觉得很神奇，然后，在学生好奇心的驱使下引导学生掌握游戏的方法，也能猜中其他人心里的数字，产生成就感，从而产生喜悦的情绪。在这种情况下，学生的思维活跃，对所学内容易于掌握。）

【游戏方法】

1、提出问题：为什么采用正确的方法，7次以内一定可以猜中？

（第一次猜50，若“大了”，则猜1与50中间的整数25，依次类推，由于每猜一次，就排除一半，范围不断缩小，7次以内一定可以猜中。因为2的7次方是128，因此不仅仅是100以内，就是128以内都可以猜到。）

上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字。这种思想就是二分法。[来源:学§科§网Z§X§X§K]

比如：学生猜的是30，第一次老师猜50，学生提示“大了”；第二次，25（1到50中间）“小了”；第三次，38（25到50中间），“大了”，第四次，32（25到38中间），“大了”；第五次，28（25到32中间），“小了”；第六次，30（28到32中间），对了，结束。

在刚才的游戏中，我们体会到了二分法的用处，你还能列举一些二分法在实际生活中的应用吗？

2、提出新问题：（教师可以利用多媒体等手段展示问题）有一条5km长的电话线路（大约100多根电线杆），某一天线路发生了故障．想一想，维修线路的工人师傅如何迅速查出故障所在？

二、【揭示课题】

1、求下列函数的零点：

（1）（2）
学生回答计算的结果．

2、教师总结：简单高次函数可以因式分解求出零点，不能因式分解的高次函数我们不能求出其零点，但是我们可以想办法来求零点的近似值

3、介绍数学史：（让学生体会到：数学中很多新的解决问题方法的产生，都是基于前一个问题不能解决，数学家们经过不懈努力而探索出来的。）

介绍法国数学家伽罗瓦(E.Galois,1811.10—1832.5)与挪威数学家阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）的事迹，并引出二分法．

我们刚才在游戏当中体会到了二分法的用处，其实它在数学中也有很大的用处。如：类似的方程，我们现在不会解。但是，学习了二分法，我们就可以来求它的近似解。下面让我们一起来体验一下如何用二分法来求方程的近似解。

三、【实践探究】

例1、①判断方程在区间（0，1）内是否有解？若有，有几解？

（利用两个端点的函数值异号得到在（0，1）内至少有一解；解的个数就是函数与图象交点的个数，作出两者图象，知只有一解。）

②这个实数解大概是多少？你能利用二分法来解决这个问题吗？

让学生展示自己的解决策略。（师生共同得出前三次，下面请学生再操作5步，2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程）

借助几何画板来显示这个实数解的范围逐步缩小的过程。

记，设方程的实数解为，∈(0,1)

  第一次：∈(0,0.5)

  第二次：∈(0.25,0.5)

  第三次：∈(0.25,0.375)

  第四次：∈(0.3125,0.375)

  第五次：∈(0.3125,0.34375)

  第六次：∈(0.3125,0.328125)

  第七次：∈(0.3203125,0.328125)

  第八次：

∈(0.3203125 ,0.32421875)

【讨论】

若精确到0.1，算几次就可以了？

若精确到0.01呢

（第5次，两个端点精确到0.1的近似值都为0.3，故0.3；

  第8次，两个端点精确到0.01的近似值都为0.32，故0.32；）

设计意图：

第①题，学生容易联想到用上节课函数与方程的知识解决，目的在于分解难点，为第②题作铺垫；第②题初始区间已给定，目的在于让学生在动手操作中来体验用二分法求方程近似解的具体过程，在讨论中自我感悟运用二分法解题到底何时结束？

【总结提炼】

在例1、例2的基础上，引导学生归纳二分法求解方程近似解的基本步骤。

1、 利用估算或图象的方法，确定初始区间,使得

（且）

2、 求区间的中点

3、 计算

（1） 若=0,则为方程的根

（2）       若，则方程的根∈

（3） 若，则方程的根∈

4、 重复上述步骤，可得方程的解总位于区间，直至和按指定精确度取近似值相等时，那么这个近似值就是方程的一个近似解

引导学生回顾学习过程，进行总结和反思，并提出自己还存在的疑问。

现在，我们来思考刚刚提出的那个排除电话线故障的问题，有了二分法的思想，我们不仅可以用于求方程的近似解，更重要的，我们可以用它来解决生活的实际问题，大大减少了问题的难度。

四、教学反思

这节课的难点，我认为主要有以下几点：1、利用二分法求方程的近似解，算到何时结束？ 2、初始区间如何确定？

另外，为了帮助学生更形象地感知运用二分法来不断缩小解所在的区间，从而逼近近似解的这一过程，我运用了几何画板，通过动态演示来达到辅助教学的目的。

当然，在教学过程中也发现了一些问题，如：学生在归纳、探究中明显体现出能力不是很强，所以引导实在是一件长远的工作，执教者应当根据学生能力的层次设计教案，设计长远的循序渐进的教学系统。