北师大版必修12.1实际问题的函数刻画复习练习题

这是一份北师大版必修12.1实际问题的函数刻画复习练习题，共20页。试卷主要包含了1　实际问题的函数刻画，习近平总书记在十九大报告中指出，3)等内容，欢迎下载使用。

第四章　函数应用
§2　实际问题的函数建模
第2.1　实际问题的函数刻画
第2.2　用函数模型解决实际问题
第2.3　函数建模案例
基础过关练
题组一　利用已知函数模型解决问题
1.(2020江西南昌洪都中学期中)据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与第x年近似满足关系y=alog3(x+2),观测发现2015年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只,估计到2021年冬有越冬白鹤 (　　)
A.4 000只 B.5 000只
C.6 000只 D.7 000只
2.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x之间满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月份,2月份分别生产该产品1万件,1.5万件,则此工厂3月份生产该产品　　　　万件. 
3.(2019湖南张家界高一期末联考)习近平总书记在十九大报告中指出:“要着力解决突出环境问题,坚持全民共治,源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战.”为落实好这一精神,某市环保局规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中,废气中的污染物含量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系式为P(t)=P0e-kt(e为自然对数的底数,P0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量为原来的45.
(1)求函数P(t)的关系式;
(2)要使污染物的含量不超过初始值的11000,至少需过滤几小时?(参考数据:lg 2≈0.3)





题组二　自建函数模型解决问题
4.(2019四川成都实验中学高一期中)如图所示,点P在边长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点.当点P沿路线A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图像大致是 (　　)


5.已知光线每通过一块玻璃板强度就减弱10%,要使通过玻璃板的光线的强度不大于原来强度的13,则至少需要通过玻璃板的块数为 (　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
6.(2020山东临沂期中)我国工农业总产值从1998年到2018年的20年间翻了两番,设1998年总产值为1,平均每年的增长率为x,则有 (　　)
A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3
C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=4
7.(2020山东烟台高一期中)某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图像大致为 (　　)



8.某公司拟投资100万元,有两种获利的方案可供选择.第一种方案是年利率为10%,按单利的方式计算利息,5年后收回本金和利息;第二种方案是年利率为9%,按复利的方式计算利息,5年后收回本金和利息,哪一种投资更有利?5年后,这种投资比另一种投资可多得利息多少万元?(不计利息税,参考数据:1.094≈1.411 6,1.095≈1.538 6,1.096≈1.677 1)




















题组三　拟合函数模型解决问题
9.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 (　　)
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y=2x-2 B.y=12(x2-1)
C.y=log2x D.y=log12x
10.(2019重庆涪陵高一调研)为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年,特发行黑山谷纪念邮票,从2017年11月1日开始上市.通过市场调查,得到该纪念邮票在一周内每张的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
上市时间x(天)
1
2
6
市场价y(元)
5
2
10
(1)分析上表数据,说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的变化关系,并判断y与x满足下列哪种函数关系:①一次函数,②二次函数,③对数函数,并求出函数的解析式;
(2)利用你选取的函数,求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低价格.









11.(2020广东仲元中学高一模拟)表中表示的是某款车的车速与刹车距离的关系,试分别就y=a·ekx(a≠0),y=axn(a≠0),y=ax2+bx+c(a≠0)三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟函数,根据最佳模拟函数求车速为120 km/h时的刹车距离.
车速(km/h)
10
15
30
40
50
刹车距离(m)
4
7
12
18
25

车速(km/h)
60
70
80
90
100
刹车距离(m)
34
43
54
66
80







12.(2020山东滕州一中高一上期末)水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾,严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)(单位:月)的关系有函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0)可供选择.
(参考数据:2≈1.414,3≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求最初投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍.










能力提升练
一、选择题
1.(2019福建福安一中高一期中,)某企业制订奖励条例,对企业产品的销售取得优异成绩的员工给予奖励,奖励金额(元)满足f(n)=k(n)·(n-500)(n为年销售额),而k(n)=0.3,500≤n≤1000,0.4,1000 A.800 B.1 000 C.1 200 D.1 500
2.(2020北京丰台中学高一期中联考,)一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于 (　　)
A.lg0.50.92 B.lg0.920.5 C.lg0.5lg0.92 D.lg0.92lg0.5
3.(2020湖南长沙宁乡一中高一下质量检测,)某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是 (　　)
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100log2x+100
4.(2020安徽芜湖高一上期末,)某单位为鼓励职工节约用水,有如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为 (　　)
A.13立方米 B.14立方米
C.18立方米 D.26立方米
5.(2019湖北宜昌一中高一上期中,)下图是一直角墙角,两边的长度足够长, P处有一棵树与两墙的距离分别是a m、4 m,其中0

二、填空题
6.()一件商品的成本为20元,售价为40元时每天能卖出500件,若售价每提高1元,每天的销量就减少10件,则商家定价为　　　　元时,每天的利润最大. 
7.(2021山东烟台高一上联考,)依法纳税是每个公民应尽的义务.根据《中华人民共和国个人所得税法》,自2019年1月1日起,以居民个人每一纳税年度的综合所得收入额减除费用六万元以及专项扣除、专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额作为应纳税所得额,按照百分之三至百分之四十五的超额累进税率(见下表),计算个人综合所得个税:
级数
全年应纳税所得额
税率(%)
1
不超过36 000元的
3
2
超过36 000元至144 000元的部分
10
3
超过144 000元至300 000元的部分
20
4
超过300 000元至420 000元的部分
25
5
超过420 000元至660 000元的部分
30
6
超过660 000元至960 000元的部分
35
7
超过960 000元的部分
45
若小王全年缴纳的综合所得个税为1 380元,其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%,专项附加扣除和依法确定的其他扣除为50 000元,则小王全年综合所得收入额为　　　　元. 
三、解答题
8.(2019湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期中联考,)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,经研究发现,鲑鱼的游速可以表示为函数v=12log3θ100,单位是m/s,θ表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少?
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数;
(3)某条鲑鱼若把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍?





9.()如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为22 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x cm,试写出直线l左边阴影部分的面积y(cm2)与x(cm)的函数解析式.























10.(2020山东菏泽高一上期末联考,)为了预防某流感病毒,某学校对教室进行药熏消毒,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)随时间x(单位:小时)的变化情况如图所示,在药物释放的过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=116x-a(a为常数).

根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数关系式;
(2)根据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室学习,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?


















11.(2019四川成都外国语学校高一上期中,)习总书记在十九大报告中,提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属炼化等)的产能过剩,严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从 2018 年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0 (1)设n年后(2018 年记为第1年)年产能为 2017 年的a倍,请用a,n表示x;
(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)









12.()某航天有限公司试制一种仅由金属A和金属B组成的合金,现已试制出这种合金400克,它的体积为50立方厘米,已知金属A的密度d每立方厘米小于9克,每立方厘米大于8.8克;金属B的密度约为每立方厘米7.2克.
(1)试用d分别表示出此合金中金属A、金属B克数的函数关系式;
(2)求已试制出的这种合金中金属A、金属B克数的取值范围.







答案全解全析


第四章　 函数应用

§2　实际问题的函数建模
第2.1　实际问题的函数刻画
第2.2　用函数模型解决实际问题
第2.3　函数建模案例
基础过关练
1.C
4.A
5.D
6.D
7.D
9.B




1.C　当x=1时,由3 000=alog3(1+2),得a=3 000,所以到2021年冬,即当x=7时,有3 000×log3(7+2)=6 000(只).故选C.
2.答案　1.75
解析　由题意得1=0.5a+b,1.5=0.25a+b,
解得a=-2,b=2,∴y=-2×0.5x+2,
∴3月份该产品的产量为-2×0.53+2=1.75(万件).
3.解析　(1)根据题意,得45P0=P0e-k,易知P0≠0,
∴e-k=45,∴P(t)=P045t.
(2)由P(t)=P045t≤11000P0,
得45t≤11000,
两边同时取以10为底的对数,并整理,
得t(1-3lg 2)≥3,∴t≥30.
因此,至少需过滤30小时.
4.A　由题意得,当0 当1 当2≤x<52时,S△APM=12×52-x×1=-12x+54.
结合各选项可知,A选项符合题意.
5.D　设需要通过玻璃板的块数为n,由题意得(1-10%)n≤13,解得n≥11,所以至少要通过11块玻璃板.
6.D　增长率模型为指数型函数模型,由题可得(1+x)20=4.
7.D　设山区第一年绿色植被的面积为a,则y=a×(1+10.4%)xa=(1+10.4%)x,易知其定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),且随x的增大,y增长的速度越来越快.故选D.
8.解析　按第一种方案5年后本利和为y1=100+100×10%×5=150(万元).
按第二种方案5年后本利和为y2=100(1+9%)5≈153.86(万元).
∵y2>y1,∴按第二种方案投资更有利.
∵y2-y1≈153.86-150=3.86(万元),
∴5年后,按第二种方案投资比按第一种方案投资可多得利息3.86万元.
9.B　由题中表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且增长速度越来越快,分析选项可知B符合,故选B.
10.解析　(1)由题表知,市场价y随上市时间x的增大先减小后增大.
模型①③均为单调函数,不符合题意,
故选择②二次函数.
设y=ax2+bx+c(a,b,c均为常数且a≠0),由题表中数据可知a+b+c=5,4a+2b+c=2,36a+6b+c=10,
解得a=1,b=-6,c=10,
∴y=x2-6x+10(x∈N*).
(2)由(1)知y=x2-6x+10=(x-3)2+1,
当x=3时,黑山谷纪念邮票市场价最低,最低为1元/张.
故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市时间为第3天,最低价格为1元/张.
11.解析　若以y=a·ekx(a≠0)为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a·e10k=4,a·e40k=18,
解得k≈0.050136,a≈2.4228,∴y=2.422 8e0.050 136x,
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的刹车距离分别为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比,误差较大.
若以y=axn(a≠0)为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a·10n=4,a·40n=18,解得n≈1.085,a≈0.3289,
∴y=0.328 9x1.085,
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的刹车距离分别为43.39 m,48.65 m,与实际数据相比,误差也较大.
若以y=ax2+bx+c(a≠0)为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得
a·102+b·10+c=4,a·402+b·40+c=18,a·602+b·60+c=34,解得a=1150,b=215,c=2,
∴y=1150x2+215x+2,
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的刹车距离分别为68 m,82 m,与前两个函数相比,此函数更符合实际情况.故最佳模拟函数为y=1150x2+215x+2.
当x=120时,y=114,即当车速为120 km/h时,刹车距离为114 m.
12.解析　(1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=px12+q(p>0)的增长速度越来越慢,∴由题可知应选y=kax(k>0,a>1).
由题意得ka2=18,ka3=27,解得a=32,k=8,
∴y=8×32x(x∈N).
(2)当x=0时,y=8.
设经过n个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍.
所以8·32n=8×1 000,
解得n=log321 000=lg1000lg32
=3lg3-lg2≈17.04.
∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2,约经过17个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍.
能力提升练
1.D
2.C
3.C
4.A
5.C

一、选择题
1.D　根据题意,奖励金额f(n)可以看成关于年销售额n的函数,那么该问题就是已知函数值为400时,求自变量n的值的问题.根据题中所给的函数关系式可算得n=1 500,故选D.
2.C　由题意知a(1-8%)t=a2,即(1-8%)t=12,等式两边取对数得lg 0.92t=lg 0.5,即tlg 0.92=lg 0.5,∴t=lg0.5lg0.92,故C选项正确.
3.C　对于A,当x=3或x=4时,y=300或y=400,与实际值相差较大;对于B,当x=3或x=4时,y=400或y=700,与实际值相差也较大;对于C,当x=1,2,3时,与实际值相差为0,当x=4时,与实际值相差为10,误差很小;对于D,当x=4时,y=300,与实际值相差很大.故选C.
4.A　设职工的用水量为x立方米,需要缴水费f(x)元,
当0≤x≤10时,f(x)=mx,
当x>10时,f(x)=10×m+(x-10)×2m=2mx-10m,
即f(x)=mx,0≤x≤10,2mx-10m,x>10,
据此分类讨论:
当0≤x≤10时,mx=16m,解得x=16,不符合题意,舍去;
当x>10时,2mx-10m=16m,解得x=13,符合题意.
故该职工这个月实际用水为13立方米.
5.C　设AD长为x m,则CD长为(16-x)m. 因为要将P点围在矩形ABCD内,所以a≤x≤12,矩形ABCD的面积为y=x(16-x)=-(x-8)2+64.
若0 若8 所以S=64,0
二、填空题
6.答案　55
解析　设每天的销售利润为y元,售价提高x元,则销量为(500-10x)件,故y=[(40+x)-20](500-10x)=-10(x-15)2+12 250,当x=15时,y取得最大值,故定价为55元时,每天的利润最大.
7.答案　186 250
信息提取　①全年应纳税分七种情况;②小王全年缴纳的综合所得个税为1 380元,其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%,专项附加扣除和依法确定的其他扣除为50 000元.
数学建模　本题以个人所得税为背景,构建分段函数模型,利用函数知识解决实际问题.求解时只需对照题中表格,将全年收入分段纳税,便可得到相应的方程,解之即可.
解析　若全年应纳税所得额恰好为36 000元,则应缴纳个税为36 000×3%=1 080(元);
若全年应纳税所得额恰好为144 000元,则应缴纳个税为1 080+(144 000-36 000)×10%=11 880 (元).
因为1 080<1 380<11 880 ,
所以小王全年应缴纳所得额在36 000元至144 000元之间,
设小王全年综合所得收入额为x元,
则36 000×3%+(x-36 000-60 000-50 000-x·20%)×10%=1 380,
即0.8x-146 000=3 000,
所以0.8x=149 000,解得x=186 250,
所以小王全年综合所得收入额为186 250元.

三、解答题
8.解析　(1)由v=12log3θ100可知,当θ=900时,v=12log3900100=12log39=1(m/s),
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是1 m/s.
(2)令v=0,则12log3θ100=0,
即θ100=1,解得θ=100,
因此一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数为100.
(3)设此鲑鱼原来的耗氧量为θ1个单位,游速提高1 m/s后的耗量为θ2个单位,则12log3θ2100-12log3θ1100=1,解得θ2θ1=9,所以耗氧量的单位数为原来的9倍.
9.解析　如图,过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别为G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=22 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm,又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm.

①当点F在BG上,即x∈(0,2]时,y=S△BFE=12x2;
②当点F在GH上,即x∈(2,5]时,y=2+(x-2)·2=2x-2;
③当点F在HC上,即x∈(5,7)时,设直线l与CD交于一点E,则y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF=-12(x-7)2+10.
所以所求的函数解析式为
y=12x2,x∈(0,2],2x-2,x∈(2,5],-12(x-7)2+10,x∈(5,7).
10.解析　(1)依题意,当0≤x≤0.1时,可设y=kx(k≠0),将点(0.1,1)代入,得1=0.1k,解得k=10.
因为点(0.1,1)在函数y=116x-a(a为常数)的图像上,所以1=1160.1-a,解得a=0.1,
所以y=10x,0≤x≤0.1,116x-0.1,x>0.1.
(2)令116x-0.1<0.25,即142x-0.2<14,∴2x-0.2>1,解得x>0.6.
故至少需要经过0.6小时后,学生才能回到教室.
11.解析　(1)设2017年的年产能为1,则第1年后的年产能为1×(1-x)=1-x;
第2年后的年产能为(1-x)×(1-x)=(1-x)2;……;第n年后的年产能为(1-x)n.
依题意得(1-x)n=a,因此x=1-a1n.
(2)当x=10%时,n年后的年产能为(1-10%)n.
依题意,得(1-10%)n≤25%,
即0.9n≤0.25,
两边取对数得nlg 0.9≤lg 0.25,
化简,得n≥lg0.25lg0.9=-2lg22lg3-1≈13.09,
故14年后,即至少到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
12.解析　(1)设此合金中含金属A x克,金属B y克,
则x+y=400,xd+y7.2=50,
解得x=40dd-7.2,y=360(d-8)d-7.2(8.8 (2)∵x=40dd-7.2=401+7.2d-7.2在(8.8,9)上是减函数,
∴200 又y=360(d-8)d-7.2=3601-0.8d-7.2在(8.8,9)上是增函数,
∴180