高中数学北师大版必修12.1指数概念的扩充同步测试题

2.1 函数概念

[A组　学业达标]

1．(2019·蒸湘区高一月考)下列各组函数中是同一函数的是(　　)

A．f(x)＝x0，g(x)＝1

B．f(x)＝，g(x)＝·

C．f(x)＝，g(x)＝

D．f(x)＝|x|，g(t)＝

解析：A.f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；B.f(x)＝的定义域为R，g(x)＝·的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，不是同一函数；C.f(x)＝，g(x)＝＝，解析式不同，不是同一函数；D.f(x)＝|x|的定义域为R，g(t)＝＝|t|的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数．

答案：D

2．(2019·天津市宝坻区高一三校联考)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．[－1,2)∪(2，＋∞)  B．(－1，＋∞)

C．[－1,2)  D．[－1，＋∞)

解析：要使函数有意义，需满足，解得x≥－1且x≠2，所以函数的定义域是x∈[－1,2)∪(2，＋∞)．

答案：A

3．已知等腰三角形ABC的周长为10，且底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为(　　)

A．R  B．{x|x＞0}

C．{x|0＜x＜5}   D.

解析：△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，

∴x＜5，又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x，x＞.故此函数的定义域为.

答案：D

4．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)

A．[0,1]  B．[0,1)

C．[0,1]∪(1,4]  D．(0,1)

解析：由题意，得即0≤x＜1.

答案：B

5．函数y＝－x2的值域为________．

解析：结合函数的图像(图略)易知，值域为(－∞，0]．

答案：(－∞，0]

6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．

解析：由题意3a－1＞a，则a＞.

答案：

7．关于f(x)，f(a)，f(t)(其中a为定值，x、t为自变量)，下列说法正确的是________(把正确答案的题号都填上)．

①f(x)是f与x的积；

②f(a)是常量，f(x)，f(t)是变量；

③f(a)，f(t)，f(x)是同一函数．

解析：①不正确，f(x)是一个整体，是一个符号，不是f与x的积；②正确，f(a)是当x＝a时函数f(x)的函数值；③不正确，f(a)是常量与f(x)、f(t)不同．

答案：②

8．求函数y＝的定义域，并用区间表示．

解析：要使函数有意义，则即

∴－2≤x≤3，且x≠.

∴函数的定义域是.

用区间表示为∪.

9．已知函数f(x)＝x＋.

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(－1)，f(2)的值；

(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．

解析：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，

∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.

(3)当a≠－1时，a＋1≠0，

∴f(a＋1)＝a＋1＋.

[B组　能力提升]

10．(2019·苏州高一模拟)若函数f(x)的定义域为(1,2)，则f(x2)的定义域为(　　)

A．{x|1＜x＜4}

B．{x|1＜x＜}

C．{x|－＜x＜－1，或1＜x＜}

D．{x|1＜x＜2}

解析：∵f(x)的定义域为(1,2)；

∴f(x2)满足1＜x2＜2；

∴－＜x＜－1或1＜x＜；

∴f(x2)的定义域为{x|－＜x＜－1，或1＜x＜}．

答案：C

11．(2019·广东佛山市高一模拟)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，＋∞)  B.

C.  D.

解析：由题意知，mx2＋4mx＋3≠0在R上恒成立．

(1)当m＝0时，满足条件；

(2)当m≠0时，二次方程

mx2＋4mx＋3＝0，无实根，故Δ＝16m2－12m＜0，

所以0＜m＜.综上，0≤m＜.

答案：D

12．若函数f(x)满足f(2x－1)＝x＋1，则f(3)＝________.

解析：令2x－1＝3，则x＝2，故f(3)＝2＋1＝3.

答案：3

13．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________．

解析：f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，

f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.

∴a3－2a2＋a＝0，

∴a＝1或a＝0(舍去)．故a＝1.

答案：1

14．已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域；

(2)若f(a)＝2，求a的值；

(3)求证：f＝－f(x)．

解析：(1)要使函数f(x)＝有意义，只需1－x2≠0，解得x≠±1，所以函数的定义域为{x|x≠±1}．

(2)因为f(x)＝，且f(a)＝2，所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±.

(3)证明：由已知得f＝＝，

－f(x)＝－＝，

∴f＝－f(x)．

15．已知函数f(x)＝.

(1)求f(2)与f，f(3)与f；

(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现．

(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＋f＋f＋…＋f.

解析：(1)∵f(x)＝，

∴f(2)＝＝，f＝＝，

f(3)＝＝，f＝＝.

(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1，证明如下：

f(x)＋f＝＋＝＋＝1.

(3)由(2)知f(x)＋f＝1，

∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，…，f(2 014)＋f＝1.∴原式＝f(1)＋2 013＝.