人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

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平面向量基本定理
思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？
[提示] 不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．
1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．{e1，e2} B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2}
[答案] B
2．若a，b不共线，且la＋mb＝0(l，m∈R)，则l＝________，m＝________.
[答案] 0 0
3．如图所示，向量eq \(OA,\s\up14(→))可用向量e1，e2表示为________．
4e1＋3e2 [由题图可知，eq \(OA,\s\up14(→))＝4e1＋3e2.]
4．若AD是△ABC的中线，已知eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AC,\s\up14(→))＝b，若{a，b}为基底，则eq \(AD,\s\up14(→))＝________.
[答案] eq \f(1,2)(a＋b)
【例1】 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①eq \(AD,\s\up14(→))与eq \(AB,\s\up14(→))；②eq \(DA,\s\up14(→))与eq \(BC,\s\up14(→))；③eq \(CA,\s\up14(→))与eq \(DC,\s\up14(→))；④eq \(OD,\s\up14(→))与eq \(OB,\s\up14(→)).其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
B [①eq \(AD,\s\up14(→))与eq \(AB,\s\up14(→))不共线；②eq \(DA,\s\up14(→))＝－eq \(BC,\s\up14(→))，则eq \(DA,\s\up14(→))与eq \(BC,\s\up14(→))共线；③eq \(CA,\s\up14(→))与eq \(DC,\s\up14(→))不共线；④eq \(OD,\s\up14(→))＝－eq \(OB,\s\up14(→))，则eq \(OD,\s\up14(→))与eq \(OB,\s\up14(→))共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．]
对基底的理解
两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
若向量a，b不共线，则c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断{c，d}能否作为基底．
[解] 设存在实数λ，使c＝λd，
则2a－b＝λ(3a－2b)，
即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，
由于向量a，b不共线，
所以2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，
从而c，d不共线，{c，d}能作为基底．
【例2】 (1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且eq \(BC,\s\up14(→))＝a，eq \(CA,\s\up14(→))＝b，给出下列结论：
①eq \(AD,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2)a－b；②eq \(BE,\s\up14(→))＝a＋eq \f(1,2)b；
③eq \(CF,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(EF,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)a.
其中正确的结论的序号为________．
(2)如图所示，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，试用a，b表示向量eq \(DE,\s\up14(→))，eq \(BF,\s\up14(→)).
[思路探究] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则．
(1)①②③ [如图，eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(CD,\s\up14(→))＝－b＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up14(→))＝－b－eq \f(1,2)a，①正确；
eq \(BE,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(CE,\s\up14(→))＝a＋eq \f(1,2)b，②正确；
eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(CB,\s\up14(→))＝－b－a，eq \(CF,\s\up14(→))＝eq \(CA,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up14(→))＝b＋eq \f(1,2)(－b－a)
＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a，③正确；
④eq \(EF,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2)a，④不正确．]
(2)[解] eq \(DE,\s\up14(→))＝eq \(DA,\s\up14(→))＋eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BE,\s\up14(→))
＝－eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up14(→))
＝－eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up14(→))＝a－eq \f(1,2)b.
eq \(BF,\s\up14(→))＝eq \(BA,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(DF,\s\up14(→))
＝－eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up14(→))＝b－eq \f(1,2)a.
1．若本例(2)中条件不变，试用a，b表示eq \(AG,\s\up14(→)).
[解] 由平面几何的知识可知eq \(BG,\s\up14(→))＝eq \f(2,3)eq \(BF,\s\up14(→))，
故eq \(AG,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BG,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)eq \(BF,\s\up14(→))
＝a＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)a))
＝a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)a
＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b.
2．若本例(2)中的基向量“eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(AD,\s\up14(→))”换为“eq \(CE,\s\up14(→))，eq \(CF,\s\up14(→))”，即若eq \(CE,\s\up14(→))＝a，eq \(CF,\s\up14(→))＝b，试用a，b表示向量eq \(DE,\s\up14(→))，eq \(BF,\s\up14(→)).
[解] eq \(DE,\s\up14(→))＝eq \(DC,\s\up14(→))＋eq \(CE,\s\up14(→))＝2eq \(FC,\s\up14(→))＋eq \(CE,\s\up14(→))＝－2eq \(CF,\s\up14(→))＋eq \(CE,\s\up14(→))＝－2b＋a.
eq \(BF,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(CF,\s\up14(→))＝2eq \(EC,\s\up14(→))＋eq \(CF,\s\up14(→))＝－2eq \(CE,\s\up14(→))＋eq \(CF,\s\up14(→))＝－2a＋b.
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义．
(2)模型：
[探究问题]
若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？
[提示] 由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.
【例3】 如图所示，在△OAB中，eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求eq \(OP,\s\up14(→)).
[思路探究] 可利用eq \(OP,\s\up14(→))＝teq \(OM,\s\up14(→))及eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(ON,\s\up14(→))＋eq \(NP,\s\up14(→))＝eq \(ON,\s\up14(→))＋seq \(NB,\s\up14(→))两种形式来表示eq \(OP,\s\up14(→))，并都转化为以a，b为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而得eq \(OP,\s\up14(→)).
[解] eq \(OM,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋Aeq \(M,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up14(→))
＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→)))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b.
因为eq \(OP,\s\up14(→))与eq \(OM,\s\up14(→))共线，
故可设eq \(OP,\s\up14(→))＝teq \(OM,\s\up14(→))＝eq \f(t,3)a＋eq \f(2t,3)b.
又eq \(NP,\s\up14(→))与eq \(NB,\s\up14(→))共线，可设eq \(NP,\s\up14(→))＝seq \(NB,\s\up14(→))，eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(ON,\s\up14(→))＋seq \(NB,\s\up14(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up14(→))＋s(eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(ON,\s\up14(→)))＝eq \f(3,4)(1－s)a＋sb，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)1－s＝\f(t,3)，,s＝\f(2,3)t，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＝\f(9,10)，,s＝\f(3,5)，))
所以eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \f(3,10)a＋eq \f(3,5)b.
1．将本例中“点M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“点M是AB上靠近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“点N为OA的中点”，求BP∶PN的值．
[解] eq \(BN,\s\up14(→))＝eq \(ON,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)a－b，
eq \(OM,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(AM,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
因为O，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使eq \(BP,\s\up14(→))＝λeq \(BN,\s\up14(→))＝eq \f(λ,2)a－λb，
eq \(OP,\s\up14(→))＝μeq \(OM,\s\up14(→))＝eq \f(2μ,3)a＋eq \f(μ,3)b，
所以eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \(OP,\s\up14(→))＋eq \(PB,\s\up14(→))＝eq \(OP,\s\up14(→))－eq \(BP,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2μ,3)－\f(λ,2)))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(μ,3)＋λ))b，
又eq \(OB,\s\up14(→))＝b，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2μ,3)－\f(λ,2)＝0，,\f(μ,3)＋λ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)，))
所以eq \(BP,\s\up14(→))＝eq \f(4,5)eq \(BN,\s\up14(→))，即BP∶PN＝4∶1.
2．将本例中点M，N的位置改为“eq \(OM,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \(MB,\s\up14(→))，N为OA的中点”，其他条件不变，试用a，b表示eq \(OP,\s\up14(→)).
[解] eq \(AM,\s\up14(→))＝eq \(OM,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)b－a，
eq \(BN,\s\up14(→))＝eq \(ON,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)a－b.
因为A，P，M三点共线，所以存在实数λ使得eq \(AP,\s\up14(→))＝λeq \(AM,\s\up14(→))＝eq \f(λ,3)b－λa，
所以eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(AP,\s\up14(→))＝(1－λ)a＋eq \f(λ,3)b.
因为B，P，N三点共线，所以存在实数μ使得eq \(BP,\s\up14(→))＝μeq \(BN,\s\up14(→))＝eq \f(μ,2)a－μb，
所以eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(OB,\s\up14(→))＋eq \(BP,\s\up14(→))＝eq \f(μ,2)a＋(1－μ)b.
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λ＝\f(μ,2)，,\f(λ,3)＝1－μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,5)，,μ＝\f(4,5)，))
所以eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(1,5)b.
1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：
2．任意一向量基底表示的唯一性的应用：
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．
(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
1．判断正误
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．( )
(2)基底中的向量可以是零向量．( )
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．( )
(4)e1，e2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A．{eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(DC,\s\up14(→))} B．{eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))}
C．{eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))} D．{eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(DA,\s\up14(→))}
D [由于eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(DA,\s\up14(→))不共线，所以是一组基底．]
3．设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up14(→))＝3eq \(CD,\s\up14(→))，则( )
A.eq \(AD,\s\up14(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up14(→))
B.eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up14(→))
C.eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up14(→))
D.eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up14(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up14(→))
A [eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(CD,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→)))＝eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up14(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up14(→)).故选A.]
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点)
2．了解向量基底的含义．在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量．(难点)
1.通过作图引导学生得出平面向量基本定理，培养直观想象素养．
2．通过基底的学习，提升直观想象和逻辑推理的核心素养.
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
对基底的理解
用基底表示向量
平面向量基本定理的唯一性及其应用
条件一
平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2
条件二
a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2
结论
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝λ2，,μ1＝μ2))