高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案，共17页。学案主要包含了例1-1，变式1-1，例1-2，变式1-2，例1-3，变式1-3，例2-1，变式2-1等内容，欢迎下载使用。

1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示
1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
（2）在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示
1.数乘：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.共线：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C．D．
【变式1-1】已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.
【例1-2】如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，试用{a，b}为基底表示eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→)).
【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(BD,\s\up6(→))＝c，则以{a，b}为基底时，eq \(AC,\s\up6(→))可表示为________，以{a，c}为基底时，eq \(AC,\s\up6(→))可表示为________.
【例1-3】在三角形中，为的中点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】如图，已知，若点满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量eq \(BA,\s\up6(→))的坐标；
(3)求点B的坐标.
【变式2-1】已知点M(5，－6)，且eq \(MN,\s\up6(→))＝(－3,6)，则N点的坐标为________.
【例2-2】已知，，则（ ）
A．2B．C．4D．
【变式2-2】已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）
【变式2-4】已知点，，则与反方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-5】已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．-4B．4C．-1D．1
【例3-1】(1)已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于( )
A.(1，－2) B.(1,2)
C.(5,6) D.(2,0)
(2)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,2)，则eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A.(－2，－2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(－1，－1)
【变式3-1】已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)b.
【例3-2】已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．(7，9)
【例3-3】(1)已知非零向量，，，若，，且，则（ ）
A．4B．-4C．D．
(2)若，，三点共线，则实数的值是（ ）
A．6B．C．D．2
【变式3-2】与平行的一个向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3-4】已知向量，，若，则实数（ ）
A．8B．C．2D．
课后练习题
1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
2.在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A．B．C．D．
3.已知，，则向量为（ ）
A．B．C．D．
4.已知，，，若，则等于（ ）
A．(1，4)B．C．D．
5.已知，，则与向量共线的单位向量为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
6.设向量=(1，4)，=(2，x)，.若，则实数x的值是（ ）
A．-4B．2C．4D．8
7.若且//,则锐角=__________ .
8.已知为单位圆，A、B在圆上，向量，的夹角为60°，点C在劣弧上运动，若，其中，则的取值范围___________.
9.在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为（ ）
A．B．C．D．
10.已知所在的平面内一点（点与点，，不重合），且，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示
【知识一】平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示
1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
（2）在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示
1.数乘：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.共线：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【解析】对A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；
对B：因为，故B中两个向量不共线；
对C：因为，故C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；
对D：因为，故D中两个向量共线，故D中向量不可作基底.故选：B.
【变式1-1】已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.
【答案】3
【解析】因为{a，b}是一个基底，
所以a与b不共线，
由平面向量基本定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝3，))
所以x－y＝3.
【例1-2】如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，试用{a，b}为基底表示eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→)).
【解析】因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，
所以eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b.
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)b－a＋eq \f(1,2)b＝eq \f(1,4)b－a.
【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(BD,\s\up6(→))＝c，则以{a，b}为基底时，eq \(AC,\s\up6(→))可表示为________，以{a，c}为基底时，eq \(AC,\s\up6(→))可表示为________.
【答案】a＋b 2a＋c
【解析】以{a，b}为基底时，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋b；
以{a，c}为基底时，将eq \(BD,\s\up6(→))平移，使B与A重合，
再由三角形法则或平行四边形法则即得eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋c.
【例1-3】在三角形中，为的中点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为的中点，所以，所以，
又，所以，，故选：C.
【变式1-3】如图，已知，若点满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，即，
又，所以，因此.故选：C.
【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量eq \(BA,\s\up6(→))的坐标；
(3)求点B的坐标.
【解析】(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cs 45°
＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
AM＝OA·sin 45°
＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2).
∴A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2)).
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).
(2)eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).
(3)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))).
∴点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))).
【变式2-1】已知点M(5，－6)，且eq \(MN,\s\up6(→))＝(－3,6)，则N点的坐标为________.
【答案】 (2,0)
【解析】∵eq \(MN,\s\up6(→))＝(－3,6)，设N(x，y)，
则eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝(x－5，y＋6)＝(－3,6).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0.))即N(2,0).
【例2-2】已知，，则（ ）
A．2B．C．4D．
【解析】由题得=（0,4）所以．故选C
【变式2-2】已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）
【解析】设点的坐标为，则，，
因为，即，所以，解得，所以.故选：C.
【变式2-4】已知点，，则与反方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，,，则，
所以与反方向的单位向量为.故选：B.
【变式2-5】已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．-4B．4C．-1D．1
【答案】C
【解析】由题意，向量，，所以，
可得，解得.故选：C.
【例3-1】(1)已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于( )
A.(1，－2) B.(1,2)
C.(5,6) D.(2,0)
【答案】B
【解析】由题意得b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1).
(2)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,2)，则eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A.(－2，－2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(－1，－1)
【答案】D
【解析】eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－2，－2)＝(－1，－1).
【变式3-1】已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)b.
【解析】(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
(3)eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)b＝eq \f(1,2)(－1,2)－eq \f(1,3)(2,1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)，\f(2,3))).
【例3-2】已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．(7，9)
【答案】ABC
【解析】由点，，则
选项A . ,所以A选项正确.
选项B. ,所以B选项正确.
选项C . ,所以C选项正确.
选项D. ,所以选项D不正确故选：ABC
【例3-3】(1)已知非零向量，，，若，，且，则（ ）
A．4B．-4C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，，所以；
又，，所以，解得．故选：D
(2)若，，三点共线，则实数的值是（ ）
A．6B．C．D．2
【答案】B
【解析】因为三点，，共线，所以 ,
若，，三点共线，则和共线
可得：，解得；故选：B
【变式3-2】与平行的一个向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若向量与向量平行，则，，则
设向量，则与符号相同，与符号相反，所以可知A，B，D不成立，
选项C：若，则，，，故C正确.故选：C.
【变式3-3】已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，解得或，
所以“”是“” 充分不必要条件.故选：A.
【变式3-4】已知向量，，若，则实数（ ）
A．8B．C．2D．
【答案】D
【解析】由，，可得，，
因为，所以，解得.故选：D.
课后练习题
1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．故选：B
2.在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
3.已知，，则向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得.故选：C.
所以，解得，所以。
故选：B.
4.已知，，，若，则等于（ ）
A．(1，4)B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，若，
可得：.故选：C.
5.已知，，则与向量共线的单位向量为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【解析】因为，，所以向量，
所以与向量共线的单位向量为或.故选：B
6.设向量=(1，4)，=(2，x)，.若，则实数x的值是（ ）
A．-4B．2C．4D．8
【答案】D
【解析】因为==所以=(3，4+x)，
因为，所以4+x=12，得x=8.故选：D．
7.若且//,则锐角=__________ .
【答案】
【解析】∵//,∴，又为锐角，，∴，．
故答案为：．
8.已知为单位圆，A、B在圆上，向量，的夹角为60°，点C在劣弧上运动，若，其中，则的取值范围___________.
【答案】
【解析】由题意，以O为原点，OA为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示：
由题意得：，则，，
设点，则，
因为，
所以，整理得，
因为，得，
所以，即，
所以的取值范围为.
故答案为：.
9.在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设的中点为点，则有，又，所以，则点在线段上，因为D为BC的中点，所以得点为的重心，
故与面积之比为.故选：B
10.已知所在的平面内一点（点与点，，不重合），且，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据平面向量的线性运算，
由，
所以，
设线段的中点为，线段的中点为（如图所示），
所以，可得，
所以点为的中位线的靠近点的三等分点，
所以，
，
所以，即与的面积之比为.
故选：A.
数学公式
文字语言表述
向量加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
数学公式
文字语言表述
向量加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差