高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率导学案

10.1.4　概率的基本性质

概率的基本性质

性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0.

性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.

性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．

性质5　如果A⊆B，那么P(A) ≤P(B)．

性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

思考1：设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？

[提示]　不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

思考2：从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记 “其中至少有3名女同学”为事件A，那么事件A的对立事件是什么？

[提示]　事件A的对立事件是“其中至多有2名女同学”．

1．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为(　　)

A．0.2　　　　　　　　 B．0.8

C．0.4   D．0.1

B　[乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.]

2．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为        ．

　[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.]

3．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝        .

0．3　[因为P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)，

所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3.]

【例1】　备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：

求该选手射击一次，

(1)命中9环或10环的概率；

(2)至少命中8环的概率；

(3)命中不足8环的概率．

[解]　记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7,8,9,10)．

(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.

(2)记“至少命中8环”为事件B. B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，

所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.

(3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立事件．

所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.

互斥事件、对立事件的概率公式的应用

(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．

(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．

1．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：

(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；

(2)小王数学考试及格的概率．

[解]　设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．

(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，

所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.

(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，

所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.

[探究问题]

1．若事件A和事件B为互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？

[提示]　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？

[提示]　P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

3．若事件A和事件B是对立事件，那么P(A)，P(B)有什么关系？

[提示]　P(A)＋P(B)＝1.

【例2】　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时，

(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率．

[思路探究]　→

→

[解]　将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：

如图所示，本题中的样本点的总数为24.

(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，

则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝.

(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，

则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝.

1．求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．

[解]　由本例解可知，设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，

所以P(C)＝＝.

2．求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率．

[解]　法一：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事件E为“这四人中有2人坐在自己的席位上”，则事件E包含6个样本点，则D＝A＋E, 且事件A与E为互斥事件，所以P(D)＝P(A＋E)＝P(A)＋P(E)＝＋＝.

法二：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，则＝B＋C，

所以P(D)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－－＝.

1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．

2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．

【例3】　已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：

(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．

[解]　(1)游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天，故a＝15，b＝＝，游客人数的平均值为50×＋150×＋250×＋350×＝120(人)．

(2)从5天中任选2天，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个样本点，其中游客拥挤等级均为“优”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3个，故所求概率为.

解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.

2．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：

(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值．

(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．

[解]　(1)高三(1)班8名学生视力的平均值为＝4.7，

故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.

(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4，4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P＝＝.

1．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果．

2．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．

1．判断正误

(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(　　)

(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件．(　　)

(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”．(　　)

[提示]　(1)错误．只有当A与B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1.

(2)错误．

(3)错误．事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“至少有一个同学的成绩在60分以下”．

[答案]　(1)×　 (2)×　 (3)×

2．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是        ．

　[记甲队胜为事件A，则P(A)＝1－－＝.]

3．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是        ．

0．10　[“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.

因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.]

4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，求田忌获胜的概率．

[解]　分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，试验的样本空间Ω＝{Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc}，共9个样本点，其中事件“田忌获胜”包含的样本点有Ba，Ca，Cb，共3个，所以田忌获胜的概率为.