高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案设计

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1．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
2.向量模的公式
设a＝(x1，y1)，则|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
3．两点间的距离公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up14(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
思考：已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
[提示] 设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±eq \f(1,|a|)a＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,|a|)，\f(y,|a|)))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,\r(,x2＋y2))，\f(y,\r(,x2＋y2))))，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，
所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－y,\r(,x2＋y2))，\f(x,\r(,x2＋y2))))，其中正、负号表示不同的方向．
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于( )
A．3 B．－3 C.eq \f(5,3) D．－eq \f(5,3)
A [a·b＝－x＋6＝3，x＝3，故选A.]
2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________.
1 2eq \r(5) [a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).]
3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______.
eq \f(2,3) [因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，
解得m＝eq \f(2,3).]
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．
eq \f(63,65) [因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝eq \r(32＋42)＝5，|b|＝eq \r(52＋122)＝13，
所以a与b夹角的余弦值为eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(63,5×13)＝eq \f(63,65).]
【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AF,\s\up14(→))＝eq \r(2)，则eq \(AE,\s\up14(→))·eq \(BF,\s\up14(→))的值是________．
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.
[思路探究] (1)
(2) ①先由a＝λb设点a坐标，再由a·b＝10求λ.
②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．
(1)eq \r(2) [以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，
则B(eq \r(2)，0)，D(0,2)，C(eq \r(2)，2)，E(eq \r(2)，1)．
可设F(x,2)，因为eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AF,\s\up14(→))＝(eq \r(2)，0)·(x,2)＝eq \r(2)x＝eq \r(2)，
所以x＝1，所以eq \(AE,\s\up14(→))·eq \(BF,\s\up14(→))＝(eq \r(2)，1)·(1－eq \r(2)，2)＝eq \r(2).]
(2)[解] ①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，
∴a＝(2,4)．
②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a·(b·c)＝0·a＝0，
(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
C [∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.]
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq \(AB,\s\up14(→))＝(1，－2)，eq \(AD,\s\up14(→))＝(2,1)，则eq \(AD,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))＝( )
A．5 B．4 C．3 D．2
A [由eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得eq \(AD,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))＝(2,1)·(3，－1)＝5.]
【例2】 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4 B．5 C．3eq \r(5) D．4eq \r(5)
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
[思路探究] 综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解．
(1)D [由a∥b得y＋4＝0，
∴y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4eq \r(5).故选D.]
(2)[解] ①∵a＝eq \(AB,\s\up14(→))＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，
∴|a|＝eq \r(42＋－32)＝5.
②与a平行的单位向量是±eq \f(a,|a|)＝±eq \f(1,5)(4，－3)，
即坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5))).
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴eq \f(m,n)＝eq \f(3,4).
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(3,5)，,n＝－\f(4,5)，))
∴e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))或e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq \r(x2＋y2).
3．已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
[解] (1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，
|a－2b|＝eq \r(,72＋32)＝eq \r(,58).
(2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
∴c＝a－(a·b)·b
＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，
∴|c|＝eq \r(,1＋62)＝eq \r(,37).
[探究问题]
1．设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cs θ如何用坐标表示？
[提示] cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
2．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于多少？
[提示] 由已知得a－b＝(1－x,4)．
∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0.
∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.
【例3】 (1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．(－∞，－2) D．(－2,2)
(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq \(AD,\s\up14(→))|与点D的坐标．
[思路探究] (1)可利用a，b的夹角为锐角⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b>0，,a≠λb))求解．
(2)设出点D的坐标，利用eq \(BD,\s\up14(→))与eq \(BC,\s\up14(→))共线，eq \(AD,\s\up14(→))⊥eq \(BC,\s\up14(→))列方程组求解点D的坐标．
(1)B [当a与b共线时，2k－1＝0，k＝eq \f(1,2)，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠eq \f(1,2)，即实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，选B.]
(2)[解] 设点D的坐标为(x，y)，则eq \(AD,\s\up14(→))＝(x－2，y＋1)，eq \(BC,\s\up14(→))＝(－6，－3)，eq \(BD,\s\up14(→))＝(x－3，y－2)．
∵点D在直线BC上，即eq \(BD,\s\up14(→))与eq \(BC,\s\up14(→))共线，
∴存在实数λ，使eq \(BD,\s\up14(→))＝λeq \(BC,\s\up14(→))，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－6λ，,y－2＝－3λ，))
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴eq \(AD,\s\up14(→))·eq \(BC,\s\up14(→))＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
即2x＋y－3＝0.②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
即D点坐标为(1,1)，eq \(AD,\s\up14(→))＝(－1,2)，
∴|eq \(AD,\s\up14(→))|＝eq \r(－12＋22)＝eq \r(5)，
综上，|eq \(AD,\s\up14(→))|＝eq \r(5)，D(1,1)．
1．将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．
[解] 当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－eq \f(1,2)，
此时a与b方向相反，夹角为180°，
所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＝－2＋k＜0得k＜2.
由a与b不反向得k≠－eq \f(1,2)，
所以k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)).
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq \f(π,4)”，求k的值．
[解] cseq \f(π,4)＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2＋k,\r(5)·\r(1＋k2))，
即eq \f(\r(2),2)＝eq \f(2＋k,\r(5)·\r(1＋k2))，整理得3k2－8k－3＝0，
解得k＝－eq \f(1,3)或3.
1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝eq \r(x2＋y2)计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cs θ求θ的值．
2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.
1．判断正误
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )
(2)a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角．( )
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．( )
(4)|eq \(AB,\s\up14(→))|表示A，B两点之间的距离．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
B [a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝eq \r(32＋－12)＝eq \r(10)，|b|＝eq \r(12＋－22)＝eq \r(5)，
设a与b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(5,\r(10)×\r(5))＝eq \f(\r(2),2).又0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(π,4).]
3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________.
－3 [a＋mb＝(2＋m,4＋m)，
∵b⊥(a＋mb)，
∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，
得m＝－3.]
4．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
[解] (1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝eq \r(,4＋16)＝2eq \r(,5).
综上，|a－b|＝2或2eq \r(,5).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)
2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点)
3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)
4.能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点)
1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养.
2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
平面向量数量积的坐标运算
向量模的坐标表示
向量的夹角与垂直问题