人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.2.2 导数与函数的极值、最值精练

专题四  导数与函数的极值

基本公式

1．函数极值的求法

求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值．

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值．

2．极值点与导数的关系

(1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．

(2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点．

(3)导数为0是极值点：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值点．

(4)导数为0但不是极值点：y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点．

(5)不可导点是极值点：y＝|sin x|，x＝0不可导，是极小值点．

(6)不可导点不是极值点：y＝x，x＝0不可导，不是极值点．

3．求可导函数y＝f(x)极值的步骤

(1)求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；

(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值；如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值．

例题分析

一、求函数的极值

例1  求下列函数的极值：

(1)f(x)＝x3－x2－3x；(2)f(x)＝x4－4x3＋5；(3)f(x)＝.

(对应训练一)函数y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________．

(对应训练二)求下列函数的极值：

(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝x2e－x.

(对应训练三)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)

A．在(－∞，0)上为减函数　 B．在x＝0处取极小值

C．在(4，＋∞)上为减函数  D．在x＝2处取极大值

二、已知函数极值求参数

例2  设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．

(对应训练一)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)　　 B．(0，＋∞)      C．(0,1)       D．(－1,0)

(对应训练二)已知函数f(x)＝6ln x－ax2－8x＋b(a，b为常数)，且x＝3为f(x)的一个极值点．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

(对应训练三)已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时取得极大值7，x＝3时取得极小值．求极小值及对应的a，b，c的值．

(对应训练四)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．

三、极值的综合应用

例3  已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.

(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；

(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？

(3)①f(x)＝0恰有三个实数根；②若只有一个实数根．求实数a的取值范围．

(对应训练一)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若函数y＝f(x)的图象与函数y＝a的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围．

(对应训练二)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值．

专题训练

1．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)

A．(2，3)       B．(3，＋∞)         C．(2，＋∞)       D．(－∞，3)

2．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0，2)；④              f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有(　　)

A．1个         B．2个      C．3个        D．4个

3．设a<b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　)

4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)

5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)

A.，0         B．0，        C．－，0       D．0，－

6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则(　　)

A．a＜－1         B．a＞－1       C．a＜－        D．a＞－

7．已知函数f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，则函数f(x)的极大值之和为(　　)

A.    B.       C.     D.

8．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)

A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)             B．－x0是f(－x)的极小值点

C．－x0是－f(x)的极小值点         D．－x0是－f(－x)的极小值点

9．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．

10．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________．

11．若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则a的取值范围为________．

12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)

①当x＝时，函数f(x)取得最小值；

②f(x)有两个极值点；

③当x＝2时函数值取得极小值；

④当x＝1时函数取得极大值．

13．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．　

14．求下列函数的极值．

(1)f(x)＝x3－4x＋4；(2)f(x)＝＋ln x.

15．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的极值．

16．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

17．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

18．已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．

(1)求实数a的值．

(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．