数学选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.2 利用导数研究函数的性质6.2.2 导数与函数的极值、最值课文内容课件ppt

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能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、 极值、最大 (小)值的关系．
教 材 要 点知识点　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得________与________，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．
基 础 自 测 1．下列结论正确的是(　　)A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
解析：函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　)A．有最值，但无极值B．有最值，也有极值C．既无最值，也无极值D．无最值，但有极值
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1，1)上单调递减，无最大值和最小值，也无极值．
4．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．
求函数的最值【思考探究】如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．1．观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．[提示]　f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．2．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
2．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？[提示]　存在．f(x)的最小值为f(a)，f(x)的最大值为(f(x_(3)))．3．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？[提示]　不一定．也可能是区间端点的函数值．
例1　求下列各函数的最值：(1)f(x)＝ln x－x, x∈(0，e]；
(2)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]； 
【解析】(2)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表： ∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
(3)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； 
【解析】f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∴f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上为增函~数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；当x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
方法归纳求函数最值的四个步骤第一步，求函数的定义域；第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；第四步，求极值、端点值，确定最值．
跟踪训练1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]；
　求含参数的函数的最值例2　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
状元随笔　不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论
方法归纳含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
　由最值求参数的值或范围例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
【解析】　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
方法归纳已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
跟踪训练3　(1)已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．(2)已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.①当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；②是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 
解析：(1)∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如表：∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.而h(2)＝3　与最值有关的恒成立问题例4　已知2x ln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围为________．
方法归纳1．分离参数法求解不等式恒成立问题的步骤2．构造新函数，利用导数求新函数的最值，若参数影响单调性，需对参数讨论，利用最值解决恒成立问题，即f(x)≥0恒成立⇔f(x)min≥0，f(x)≤0恒成立⇔f(x)max≤0.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.(1)讨论f(x)的单调性；