高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.2 利用导数研究函数的性质6.2.2 导数与函数的极值、最值复习练习题

专题6.3导数与函数的极值、最值（A卷基础篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2020·苏州新草桥中学高三月考）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，

由图得：导函数值先负后正的点只有一个，

故函数在内极小值点的个数是1.

故选：A.

2．（2020·浙江）若函数的导函数的图像如图所示，则（  ）

A．函数有1个极大值，2个极小值

B．函数有2个极大值，2个极小值

C．函数有3个极大值，1个极小值

D．函数有4个极大值，1个极小值

【答案】B

【解析】

由导函数图像可知原函数的单调性为先增后减再增再减，最后增，所以原函数有2个极大值，2个极小值，

所以选

3．函数有(   )

A．最大值为1 B．最小值为1

C．最大值为 D．最小值为

【答案】A

【解析】

，当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

有最大值为，故选A.

4．（2020·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））下列说法正确的是（    ）

A．当时，则为的极大值

B．当时，则为的极小值

C．当时，则为的极值

D．当为的极值且存在时，则有

【答案】D

【解析】

不妨设函数则可排除ABC

由导数求极值的方法知当为的极值且存在时，则有

故选：D

5．（2020·广西桂林·高二期末（理））关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值

C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值

【答案】D

【解析】

依题意，所以在上递增，没有最小值，也没有最大值.

故选：D

6．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中（文））关于的函数的极值点的个数有（ ）

A．2个 B．1个 C．0个 D．由确定

【答案】C

【解析】

因为，，所以，令，得，，在x=－1附近，导函数值不变号，所以，关于的函数的极值点的个数为0，选C．

7．（2020·南开·天津二十五中高三开学考试）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　　）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】A

【解析】

由导函数在内的图象知：

函数在开区间内有极小值点1个，

故选：A

8．函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是（     ）

A．5，-15 B．5，-4 C．-4，-15 D．5，-16

【答案】A

【解析】

，令，得或，所以当时，，即为单调递减函数，当时，，即为单调递增函数，所以，又，所以，故选A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（    ）

A．在处导函数有极大值 B．在，处导函数有极小值

C．在处函数有极大值 D．在处函数有极小值

【答案】ABCD

【解析】

根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.

根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.

故选：ABCD

10．（2020·江苏扬州中学高二期中）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（    ）

A．-3是的一个极小值点；

B．-2和-1都是的极大值点；

C．的单调递增区间是；

D．的单调递减区间是．

【答案】ACD

【解析】

当时，，时，

∴是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．

故选：ACD.

11．（2020·辽河油田第二高级中学高三月考）已知函数，则（    ）

A．的单调递增区间为 B．在上是减函数

C．当时，有最小值 D．在定义域内无极值

【答案】BC

【解析】

因为，令，所以，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，是极小值点，

所以A错误，B正确；

当时，根据单调性可知，，故C正确；

显然有极小值，故D错误，

故选：BC.

12．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）如果函数的导函数的图像如图所示，则下述结论正确的是（    ）

A．函数在区间内单调递增 B．当时，函数有极大值

C．函数在区间内单调递增 D．当时，函数有极大值

【答案】CD

【解析】

结合函数的导函数的图像可知：

当时，导函数值小于，函数是减函数；

当时，导函数值等于，函数取极小值；

当时，导函数值大于，函数是增函数；

当时，导函数值等于，函数取极大值；

当时，导函数值小于，函数是减函数；

当时，导函数值等于，函数取极小值；

当时，导函数值大于，函数是增函数，

结合选项易知，、错误，、正确，

故选：CD.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（（2020·北京高二期末）已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有______个.

【答案】2

【解析】

由导函数的图像可知，

函数的单调递增区间为，，

单调递减区间为，

所以为极大值点，为极小值点，

所以函数的极值点有2个.

故答案为：2

14．（2020·重庆高二期末）函数的极小值点为___________．

【答案】2

【解析】

因为，所以，令，得，

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以在时取得极小值，

故填：2.

15．（2020·四川高三开学考试（文））已知函数，则在上的最小值是_______________.

【答案】

【解析】

在上，有，知：单调递减，

∴，

故答案为：.

16．（2019·湖北高三月考（文））函数在上的极________(填“大”或“小”）值点为_________.

【答案】大       

【解析】

令，则，令，解得，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有极大值点，为．

故答案为大；

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2020·黑龙江牡丹江一中高三开学考试（文））设函数

 （1）求的单调区间；

 （2）求函数在区间上的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）1

【解析】

（1）定义域为，，由得，

∴的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）

，由得，

∴在上单调递减，在（1，2）上单调递增，

∴的最小值为.

18．（2020·北京通州·高二期末）已知函数.

（1）求曲线在点，处的切线方程；

（2）求在，上的最大值和最小值.

【答案】（1） ；（2）最大值(2)，最小值(1) .

【解析】

（1）由得，，

所以，，

所以曲线在点，处的切线方程

即；

（2）令可得或，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减，故函数在，上单调递增，

所以的最大值（2），最小值（1）.

19．（2020·广东清新一中高三月考）函数在点处的切线斜率为．

（1）求实数a的值；

（2）求的单调区间和极值．

【答案】（1）3；（2）增区间为，减区间为．极小值，无极大值．

【解析】

（1）函数的导数为， 

在点处的切线斜率为，

，即，；

（2）由（1）得，，

令，得，令，得，

即的增区间为，减区间为．

在处取得极小值，无极大值．

20．已知函数与函数在处有公共的切线.

（1）求实数a，b的值；

（2）记，求的极值.

【答案】（1），．（2）极大值为；无极小值．

【解析】

（1），，

由题意得，，

解得，.

（2），

，

，的变化情况如下表：

由表可知，的极大值为，无极小值.

21．已知函数f(x)=x3-3x2-9x+2.

（1） 求函数的单调区间；

（2） 求函数在区间[-2，2]上的最小值.

【答案】（1）f(x)的单调递增区间是(-∞，-1)，(3，+∞)；单调递减区间是(-1，3)；（2）-20.

【解析】

f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，

令f′(x)=0，得x=-1或x=3，

当x变化时，f′(x)，f(x)在区间R上的变化状态如下：

所以f(x)的单调递增区间是(-∞，-1)，(3，+∞)；单调递减区间是(-1，3)；

（2）解：因为f(-2)=0，f(2)=-20，

再结合f(x)的单调性可知，

函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-20.

22．（2020·四川省南充市白塔中学高二开学考试（文））已知函数．

（1）求函数在上的最大值和最小值．

（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程．

【答案】（1）的最小值是，的最大值是；（2）或

【解析】

（1），

，

令，解得：或，

令，解得：，

故在递增，在递减，

而，，，

的最小值是，的最大值是；

（2），

设切点坐标为，

则切线方程为，

∵切线过点，

∴，

化简得，

∴或．

∴切线的方程：或．