2020-2021学年6.3 利用导数解决实际问题导学案

6.3　利用导数解决实际问题

最新课程标准

    1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点)

2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点)

[教材要点]

知识点一　最优化问题

生活中经常遇到求________、________、________等问题，这些问题通常称为最优化问题．

知识点二　用导数解决最优化问题的基本思路

[基础自测]

1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　)

A．6 m  B．8 m

C．4 m  D．2 m

2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0<x<60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为(　　)

A．30  B．40

C．50  D．60

3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)

A．13万件  B．11万件

C．9万件  D．7万件

4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．

题型一　面积、体积的最值问题

例1　请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．

(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

　弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．

方法归纳

1．解决面积、体积最值问题的思路

要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

2．解决优化问题时应注意的问题

(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；

(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．

跟踪训练1　将一张2×6 m的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.

(1)写出y关于x的函数关系式；

(2)x取何值时，水箱的容积最大．

题型二　用料最省、成本(费用)最低问题

例2　位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．

　可设CD＝x km，则CE＝(3－x)km，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．

方法归纳

1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．

跟踪训练2　甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，

(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；

(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．

题型三　利润最大、效率最高问题

　在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？

[提示]　根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．

例3　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

　(1)根据x＝5时，y＝11，求a的值．

(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．

方法归纳

1．经济生活中优化问题的解法

经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．

2．关于利润问题常用的两个等量关系

(1)利润＝收入－成本．

(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．

跟踪训练3　某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

温馨提示：请完成课时分层作业(十七)

章末质量检测

模块质量检测

6．3　利用导数解决实际问题

新知初探·自主学习

知识点一

利润最大　用料最省　效率最高

知识点二

函数　导数

[基础自测]

1．解析：设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．

答案：C

2．解析：V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，

因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，

此时V(x)单调递增；

当40<x<60时，V′(x)<0，此时V(x)单调递减，所以x＝40是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.

答案：B

3．解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当0＜x＜9时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．

答案：C

4．解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)

＝－x2＋230x－6 000，

S′(x)＝－2x＋230，

由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．

答案：115

课堂探究·素养提升

例1　解析：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.

由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.

(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，

所以当x＝15时，S取得最大值．

(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．

由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.

当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.

跟踪训练1　解析：(1)由水箱的高为x m，

得水箱底面的宽为(2－2x) m，长为＝(3－x) m.

故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)．

(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，

解得x＝(舍去)或x＝.

因为y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)在内单调递增，在内单调递减，

所以当x的值为时，水箱的容积最大．

例2　解析：设CD＝x km，则CE＝(3－x)km.

则所需电线总长

l＝AC＋BC＝＋(0≤x≤3)，

从而l′＝－.

令l′＝0，即－＝0，

解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．

因为在[0,3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，

所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2 km处时，所需电线总长最短．

跟踪训练2　解析：(1)Q＝P·

＝·

＝·400

＝－v2＋6 000(0<v≤100)．

(2)Q′＝－5v，

令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，

当0<v<80时，Q′<0；

当80<v≤100时，Q′>0，

∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝(元)．

例3　解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，故a＝2.

(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，

从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]

＝30(x－4)·(x－6)，

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

跟踪训练3　解析：每月生产x吨时的利润为

f(x)＝x－(50 000＋200x)

＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)，

由f′(x)＝－x2＋24 000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．

因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．