数学必修52.5 等比数列的前n项和当堂达标检测题

等比数列的前n项和

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.已知等比数列{an}满足a3=4,a6=32,则其前6项的和为 (　　)

A.31   B.63   C.127   D.128

【解析】选B.由题意,等比数列{an}满足a3=4,a6=32,

则q3==8,所以q=2,所以a1==1,

所以S6==63.

2.在等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1= (　　)

A.4   B.-4   C.2   D.-2

【解析】选A.由S5===44,

所以a1=4.

3.(2019·深圳高一检测)在等比数列中,若a1-a5=-,前四项的和S4=-5,则a4= (　　)

A.1   B.-1   C.   D.-

【解析】选A.根据题意,设等比数列的公比为q,

若a1-a5=-,即a1=-,

若其前四项的和S4=-5,则有S4==-5,解可得q=-,

又由a1=-,则a1=-8,

则a4=a1×q3=(-8)×=1.

4.已知数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=4,S3=,则S5= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.由等比数列性质可得:a2a4==4,

又{an}是由正数组成的等比数列,所以a3=a1q2=2且q>0,S3==a1(1+q+q2)=.

所以a1=,q=2, 所以S5==.

5.(2019·铜仁高一检测)已知{an}是正项等比数列,a1+a2=3,a3+a4=12,则该数列的前5项和等于              (　　)

A.15   B.31   C.63   D.127

【解析】选B.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),

因为a1+a2=3,a3+a4=12,即,

解得a1=1,q=2,

所以数列{an}的前5项和为S5==31.

6.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且<1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4等于

 (　　)

A.63或120  B.256

C.120    D.63

【解析】选C.由已知

解得或又因为<1,

所以{an}为递减数列,则

设等比数列{an}的公比为q,则q2==,

因为数列为正项数列,故q=,从而a1=64,

所以S4==120.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5=________. 

【解析】因为{an}是由正数组成的等比数列,且a2a4=1,所以设{an}的公比为q,则q>0,且a2a4==1,

即a3=1.

因为S3=7,所以a1+a2+a3=++1=7,

即6q2-q-1=0.

故q=或q=-(舍去),所以a1==4.

所以S5==8×=.

答案:

8.等比数列{an}的前5项和S5=10,前10项和S10=50,则它的前15项和S15=________. 

【解析】由S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,

得(S10-S5)2=S5(S15-S10),

即402=10(S15-50),

得S15=210.

答案:210

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),若bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列.

【证明】因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2

=4an+1-4an,

所以==

==2,

因为S2=a1+a2=4a1+2,

所以a2=5,b1=a2-2a1=3,

所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.

10.已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n∈N*.

(1)求证:数列为等比数列.

(2)记Sn=++…+,若Sn<100,求最大正整数n.

【解析】(1)因为=+,

所以-1=-=.

又因为-1≠0,所以-1≠0(n∈N*).

所以数列为等比数列.

(2)由(1)得-1=·,

所以=2·+1,

Sn=++…+=n+2=n+2·=n+1-,

若Sn<100,则n+1-<100,

因为函数y= n+1-单调递增,

所以最大正整数n的值为99.

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1= (　　)

A.   B.  C.   D.2

【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,q≠1,

因为9S3=S6,a2=1,

所以=,a1q=1.

解得q=2,a1=.

2.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1= (　　)

A.   B.-   C.   D.-

【解析】选C.由题意可知,a1+a2+a3=a2+10a1,

a3=9a1,解得q2=9,又因为a5=a1q4=9,则a1×81=9,求得a1=.

3.设等比数列{bn}前n项和为Sn,若=7,则= (　　)

A.2  B.   C.  D.

【解析】选B.由等比数列前n项和性质可知:S3,S6-S3,S9-S6成等比数列.

设S3=k,则S6=7k,所以==6,

所以=6,即S9-S6=36k,

所以S9=43k,所以==.

4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为

 (　　)

A.6里   B.12里  C.24里  D.48里

【解析】选B.记每天走的路程里数为{an},

由已知{an}是公比为的等比数列,

由S6==378,解得a1=192,

所以a5=192×=12(里).

【补偿训练】(2017·全国卷Ⅰ)我国古代数学

　　 名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯              (　　)

A.1盏　　B.3盏　　C.5盏　　D.9盏

【解析】选B.塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,

由=381,得x=3.

5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,满足an>0,q>1,且a3+a5=20,a2a6=64,则S6=

 (　　)

A.63   B.48   C.42   D.36

【解析】选A.由题意可知,有

化简得2q2-5q+2=0,

解得或(舍)

因此a1=1,

S6===26-1=63.

【一题多解】选A.由a2·a6=a3·a5=64,且a3+a5=20,

所以a3,a5是一元二次方程x2-20x+64=0的两根.

因为q>1,所以a5>a3,

得a3=4,a5=16,q2==4,q=2,a1==1.

所以S6==63.

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,若=,则a2·a4=________. 

【解析】设等比数列的公比为q,若q=1,则=2,不合题意;故q≠1.

又==1+q3=,

所以q=-,所以a2a4=q4=×=.

答案:

7.在数列中,a1=2,an+1=2an,Sn为的前n项和,若Sn=126,则n=____________. 

【解析】因为=2,所以数列{an}是首项a1=2,公比q=2的等比数列, Sn==126,即2n+1=128,解得n=6.

答案:6

8.已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项的和,若a2·a7=128,a4=8,则Sn=________. 

【解析】由a2·a7=128,a4=8,则数列各项均为正.得:即

解得: 则Sn==2n-1.

答案: 2n-1

9.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=__________. 

【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,a42=a6,所以=q5,又q≠0,

所以q=3,所以S5===.

答案:

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.已知数列{an}满足an+1=3an+2(n∈N*),且a1=2.

(1)求证:数列{an+1}是等比数列.

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

【解析】(1)因为==3,a1+1=3,

所以{an+1}是首项为3,公比为3的等比数列.

(2)由(1)可得an+1=3n,所以an=3n-1.

Sn=-n=-n.

【补偿训练】

　　 在数列{an}中,Sn=1+kan(k≠0,且k≠1).

(1)证明:数列{an}为等比数列.

(2)求通项an.

(3)当k=-1时,求++…+.

【解析】(1)因为Sn=1+kan,①

Sn-1=1+kan-1,②

①-②得Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2).

所以(k-1)an=kan-1,=为常数,n≥2.

所以{an}是公比为的等比数列.

(2)因为S1=a1=1+ka1,所以a1=.

所以an=·=-.

(3)因为{an}中a1=,q=,

所以{}是首项为,公比为的等比数列.

当k=-1时,等比数列{}的首项为,公比为,

所以++…+==.

11.(2019·南昌高一检测)已知等差数列{an}满足a7=4,a11=6.

(1)求{an}的通项公式an.

(2)设等比数列{bn}满足b1=a3,b4=a31,求{bn}的前n项和Tn.

【解析】(1)由题意,设等差数列的公差为d,可得,解得,

故{an}的通项公式an=1+=.

(2)由(1)得b1=a3=2,b4=a31=16.

设{bn}的公比为q,则q3==8,所以q=2,

所以数列{bn}的前n项和为Tn==2n+1-2.

12.在数列{an}中,a1=1,当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,数列{an}的前n项和为Sn.求证:

(1)数列{+1} 是等比数列.

(2)Sn<2.

【证明】(1)方法一(定义法):因为a1=1,

当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,

所以an(2+an-1)=an-1,an=,=

+1=+1=,

所以===2,

又因为+1=2,

所以是首项为2,公比为2的等比数列.

方法二(构造新数列):因为a1=1,

当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,

两边同时除以anan-1得+1-=0,

整理得-2=1,所以+1=2,即=2(常数),又因为+1=2,所以{+1}是首项为2,公比为2的等比数列.

方法三(换元法):因为a1=1,

当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,

两边同时除以anan-1得+1-=0,

令bn=,则2bn-1+1-bn=0,

所以bn+1=2(bn-1+1),即=2,

又因为b1+1=+1=2,

所以{bn+1}是首项为2,公比为2的等比数列,

即{+1}是首项为2,公比为2的等比数列.

(2)由(1)及已知得,+1=2n,

所以an=(n=1符合),Sn=1+++…+<1+++…+

=1+=2-<2.