高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列课时作业

等比数列的性质

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.在等比数列{an}中,若a1=1,a5=16,则a3= (　　)

A.2     B.-4

C.4或-4    D.4

【解析】选D.由已知=16,又a3与a1同号,

所以a3=4.

2.已知等比数列{an}中,a3a13=16,则a8的值等于 (　　)

A.4   B.8   C.±4   D.±8

【解析】选C.因为=a3a13=16,

所以a8=±4.

3.已知等比数列满足a5+a8=2,a6·a7=-8,则q3= (　　)

A.-     B.-2

C.-或-2    D.2

【解析】选C.由等比数列的性质可知,a5·a8=a6·a7=-8,

因为a5+a8=2,所以a5=4,a8=-2,或a5=-2,a8=4,

所以q3==-2或-.

4.已知在等比数列{an}中,a1=1,a3+a5=6,则a5+a7= (　　)

A.12   B.10   C.12   D.6

【解析】选A.因为a1=1,a3+a5=6,

所以a3+a5=q2+q4=6,即q4+q2-6=0,

即(q2-2)(q2+3)=0,解得q2=2,

所以a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12.

5.若数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8,则其公比q为 (　　)

A.   B.   C.2  D.3

【解析】选C.因为数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8=a1a4,可得a1,a4为一元二次方程x2-9x+8=0的两个实数根,所以a1+a4=9,a1a4=a2a3=8,

解得a1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍去),

所以q3=8,解得q=2.

6.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于 (　　)

A.6  B.-6  C.±6  D.±12

【解析】选C.因为a==,b2=(-1)(-16)=16,则b=±4,所以ab=±6.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________. 

【解析】设插入的三个数为a2,a3,a4

令a1=,a5=,

则=a2a4=a1·a5=36.

又a3,a1同号,故a3=6,

因此a2a3a4=216.

答案:216

8.已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5=________. 

【解析】因为{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,

所以+2a3a5+=25,

即(a3+a5)2=25,则a3+a5=5.

答案:5

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,求a4+a8.

【解析】因为a6a10=,a3a5=,

故+=41,

所以(a4+a8)2=++2a4a8=41+8=49,

又数列{an}各项均为正数,所以a4+a8=7.

10.已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*).证明:{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式.

【解析】由已知,Sn=2an-2n(n∈N*),

Sn-1=2an-1-2(n-1)(n≥2),

两式相减得an=2an-1+2,

即an+2=2(an-1+2),=2,

又因为S1=2a1-2=a1,得a1=2,所以a1+2=4,

所以{an+2}是首项为4,公比为2的等比数列,

an+2=4×2n-1,

an=4×2n-1-2=2n+1-2(n≥2),

又因为a1=2,

所以an=2n+1-2(n∈N*).

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知等比数列{an},a1=1,a3=,则a2等于 (　　)

A.-   B.    C.   D.±

【解析】选D.由等比数列的性质,a1a3=,

所以a2=±.

2.在正项等比数列{an}中,lg a3+lg a6+lg a9=6,则a1a11的值是 (　　)

A.10 000   B.1 000   C.100   D.10

【解析】选A.因为lg a3+lg a6+lg a9=6,

所以lg(a3·a6·a9)=6,

即=106,故a6=100,

因此a1a11==10 000.

3.已知等比数列{an}满足a5+a8=2,a6·a7=-8则a2+a11= (　　)

A.5   B.-5   C.7   D.-7

【解析】选D.等比数列{an}有a5·a8=a6·a7=-8,而a5+a8=2,

联立组成方程组,⇒或,设公比为q.

当时,解得,a2+a11=a1q+a1q10=-8+1=-7;

当时,解得,a2+a11=a1q+a1q10=1-8=-7.

4.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于

 (　　)

A.3   B.2   C.1   D.-2

【解析】选B.因为y=(x-1)2+2,所以b=1,c=2,

又因为a,b,c,d成等比数列,所以ad=bc=2.

5.等比数列{an}的各项均为正数,已知向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,则log2a1+log2a2+…+log2a10=              (　　)

A.12   B.10   C.5   D.2+log25

【解析】选C.向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,所以a4a7+a5a6=4,

由等比数列的性质可得:a1a10=……=a4a7=a5a6=2,

则log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2·a10)=log2(a1a10)5=log225=5.

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.(2019·湖南五市十校高二检测)已知数列是递增的等比数列, a1+a4=6,a2a3=5,则a7=__________. 

【解析】由等比数列的性质知道,因为a2a3=5,所以a1a4=5,

因为a1+a4=6,解得或,由于数列是递增的等比数列,故

因为a42=a1·a7,所以a7=25.

答案:25

7.已知数列{an}的首项为3,等比数列{bn}满足bn=,且b1 009=1,则a2 018的值为________. 

【解析】因为bn=,且a1=3,

所以b1=,b2=,…bn-1=,

相乘可得=b1b2…bn-1,==b1b2…b2 017=(b1b2 017)·(b2b2 016)…(b1 008b1 010),

因为b1 009=1,b1b2 017=b2b2 016=…=b1 008b1 010=(b1 009)2=1,所以=1,a2 018=3.

答案:3

8.数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10·b11=2,则a21= __________. 

【解题指南】解答本题首先要注意b1·b2·b3·…·b20=···…·==a21,另外要注意根据b10·b11=2用等比数列性质求b1·b2·b3·…·b20.

【解析】因为bn=,所以b1=,b2=,b3=,…,b20=.

以上各式相乘,得b1·b2·b3·…·b20=···…·==a21,

因为数列{bn}为等比数列,所以b1·b20=b2·b19=b3·b18=…=b10·b11=2,

所以a21=b1·b2·b3·…·b20=210=1 024.

答案:1 024

9.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++=________. 

【解析】因为a7+a8+a9+a10=,

a8·a9=a7·a10=-,

所以+++

=

=

=

==-.

答案:-

【一题多解】因为a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,

所以=-,

即+++=-.

又a7a10=a8a9,

所以+++=-.

所以+++=-.

答案:-

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).

(1)求a1,a2,a3的值.

(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.

【解析】(1)由已知,

当n=1时,a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,

当n=2时,S2=2a2-3×2=a1+a2,解得a2=9,

当n=3时,S3=2a3-3×3=a1+a2+a3,解得a3=21.

(2)因为Sn=2an-3×n,

所以=2-3×(n+1),

两式相减得=2an+3,

所以===2,

又因为b1=a1+3=6,

所以{bn}是首项为6,公比为2的等比数列,

bn=6×,

所以an=bn-3=6×-3=3(2n-1).

11.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式.

【解析】设{an}的公差为d.

由S3=,得3a2=,故a2=0或a2=3.

由S1,S2,S4成等比数列,得=S1S4.

又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,

故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).

若a2=0,则d2=-2d2,

所以d=0,此时Sn=0,不符合题意;

若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),

解得d=0,或d=2.

因此{an}的通项公式为an=3或an=2n-1.

12.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+5n,数列{bn}中,b1=8,64bn+1-bn=0,问是否存在常数c,使得对任意的正整数n(n∈N*),an+logc bn恒为常数m?若存在,求出常数c和m的值;若不存在,请说明理由.

【解题指南】先求出an与bn,假设存在c与m,利用n的任意性建立c,m的方程,判断解是否存在.

【解析】因为Sn=3n2+5n,

所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+2,

而a1=S1=8适合上式.所以an=6n+2,

由64bn+1-bn=0得=,

所以{bn}是首项为8,公比为8-2的等比数列.

所以bn=8×(8-2)n-1=83-2n.

假设存在常数c和m,使an+logc bn=m恒成立,

则6n+2+logc 83-2n=m,即(6-2logc 8)n+(2+3logc 8)=m,对任意n∈N*恒成立.

所以解得

所以存在常数c=2,使得对任意n∈N*,恒有an+logcbn=11.

【补偿训练】

设关于x的二次方程anx2-x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.

(1)试用an表示.

(2)求证:是等比数列.

(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式及项的最值.

【解析】(1)由根与系数的关系得

代入6(α+β)-2αβ=3得-=3,

所以=an+.

(2)因为=an+,

所以-=.

若an=,则方程anx2-x+1=0可化为

x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0,

此时Δ=(-2)2-4×2×3<0,

所以an≠,即an-≠0,

所以是公比为的等比数列.

 (3)当a1=时,a1-=,

所以是首项为,公比为的等比数列,所以an-=×=,

所以{an}的通项公式为an=+,

n=1,2,3,….

由函数y=在(0,+∞)上单调递减知

当n=1时,an的值最大,最大值为a1=.