人教版新课标A必修52.4 等比数列当堂达标检测题

这是一份人教版新课标A必修52.4 等比数列当堂达标检测题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

等比数列习题课

(45分钟　80分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.在等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么这个数列的公比为 (　　)
A.2 B.
C.2或 D.-2或
【解题指南】设公比为q,将a1+a4=18,a2+a3=12用首项和公比q表示,联立即可解出q.
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a4=18,a2+a3=12,
所以a1=18,a1=12,
两式相除化简得(2q2-5q+2)(1+q)=0,则2q2-5q+2=0或q=-1,因为a1(1+q3)=18,得q≠-1,
所以解得q=2或.
2.(2019·石家庄高一检测)设数列的前n项和为Sn,且a1=2,an+an+1=2n(n∈N*),则S13= (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选D.由题S13=a1++…+=2+22+24+…+212
=2+= .
3.在等比数列{an}中,已知其前n项和Sn=2n+1+a,则a的值为 (　　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【解析】选C.当n=1时,a1=S1=22+a=4+a,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1+a)-(2n+a)=2n,因为{an}为等比数列,所以a1也应该符合an=2n,从而可得4+a=2⇒a=-2.
4.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an(n∈N*),则数列{an}的前2 018项的和S2 018等于 (　　)
A.2(31 008-1) B.2(31 009-1)
C.2(32 018-1) D.2(32 017-1)
【解析】选B.由an+2=3an(n∈N*),即=3,当n为奇数时,可得a1,a3……a2n-1成等比数列,首项为1,公比为3.
当n为偶数时,可得a2,a4……a2n成等比,首项为3,公比为3.那么:S奇=,S偶=,
前2 018项中,奇数项和偶数项分别有1 009项.
故得S2 018=S奇+S偶==2×31 009-2=2(31 009-1).
5.已知等比数列{an}的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学经计算得S1=8,S2=20, S3=36,S4=65,后来该同学发现其中一个数算错了,则该数为 (　　)
A.S1 B.S2 C.S3 D.S4
【解析】选C.由已知S1正确.若S4错误,则S2,S3正确,于是a1=8,a2=S2-S1=12, a3=S3-S2=16,与{an}为等比数列矛盾,故S4=65.若S3错误,则S2正确,此时, a1=8,a2=12,得q=,a3=18,a4=27,S4=65,满足题设.
6.等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为 (　　)
A.8 B.-3 C.3 D.-24
【解题指南】利用等差数列的通项公式,等比数列的性质列出方程,求出公差,由此能求出数列的前6项和.
【解析】选D.因为等差数列{an}的首项为1,公差不为0,且a2,a3,a6成等比数列,
所以=a2·a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),
所以(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,
所以数列{an}的前6项和为S6=6a1+d=6×1+×(-2)=-24.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2019·吉林实验中学高一检测)已知数列的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1-1,则Sn=__________. 
【解析】当n=1时,则有2S1=a2-1,所以a2=2S1+1=2a1+1=3;
当n≥2时,由2Sn=an+1-1得出2Sn-1=an-1,
上述两式相减得2an=an+1-an,所以an+1=3an,得=3且=3,
所以,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,则an=1×3n-1=3n-1,an+1=3n,
那么2Sn=an+1-1=3n-1,因此,Sn=,故答案为:.
答案:
8.++++…+-2=________. 
【解析】设Sn=+++…+,
则Sn=++…++,
两式相减得Sn=++…+-
=-=1--,
所以Sn=2--,
所以原式=--=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共40分)
9.已知数列是公差不为0的等差数列,a4=3,a2,a3,a5成等比数列.
(1)求an;
(2)设bn=3n-1+,数列的前n项和为Tn,求Tn.
【解析】 (1)设数列的首项为a1,公差为d,则an=a1+d.
因为a2,a3,a5成等比数列,所以=,
化简得a1d=0,又因为d≠0,所以a1=0,又因为a4=a1+3d=3,
所以d=1.所以an=n-1.
(2)根据(1)可知an=n-1,bn=3n-1+2n-1,
Tn=+=n2+n-1+2n.
10.已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<.
【解析】(1)由已知
解得或(舍去),
所以an=4n+2.
(2)由(1)及已知知,
==,
所以Tn=+++…+
=+++…+
=
=-,
所以Tn<.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=k(3n-1),且a3=27.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若bn=log3an,求数列{}的前n项和Tn.
【解析】(1)因为Sn=k(3n-1),a3=27.
当n=3时,a3=S3-S2=k(33-32),
解得k=,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=3n,
又因为a1=S1=3也满足上式,
所以an=3n.
(2)由(1)及已知知,bn=log33n=n,
所以=-,
所以Tn=1-+-+…+-=1-=.
12.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
由　得
所以{bn}的通项公式bn=b1qn-1=3n-1,
又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27,
所以1+(14-1)d=27,解得d=2.
所以{an}的通项公式an=a1+(n-1)d
=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.
因为cn=an+bn=2n-1+3n-1,
所以Sn=c1+c2+c3+…+cn
=2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+2n-1+3n-1
=2(1+2+…+n)-n+
=2×-n+=n2+.
即数列{cn}的前n项和为n2+.

(45分钟　85分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.数列{an}为正项递增等比数列,满足a2+a4=10,=16,则loa1+loa2+…+loa10等于 (　　)
A.-45 B.45 C.-90 D.90
【解析】选D.因为{an}为正项递增等比数列,
所以an>an-1>0,公比q>1,
因为a2+a4=10 ,=16=a3·a3=a2·a4,
所以a2=2,a4=8.又因为a4=a2·q2,
所以q=2或q=-2(舍),
所以a5=16,a6=32,
loa1+loa2+…+loa10
=lo(a1·a2…·a10)=5lo(a5·a6)
=5lo(16×32)=5×9lo2
=45×2lo=90.
2.数列1,2,3,4,…,n+的前n项和为 (　　)
A.(n2+n+2)- B.n(n+1)+1-
C.(n2-n+2)- D.n(n+1)+2
【解析】选A.1+2+3+…+=(1+2+…+n)+
=+=(n2+n)+1-=(n2+n+2)-.
3.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q= (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选B.已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,两式作差可得3a3=a4-a3,所以4a3=a4,
所以q==4.
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则= (　　)
A.2　 B.　　 C. D.3
【解析】选B.设数列的公比为q(q≠0),
由题意知q≠1,根据等比数列前n项和的性质,得==1+q3=3,即q3=2.于是===.
5.已知等比数列{an}满足a3=4,且=9,则a1++a3++a5++…+a19+=
(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为=9,所以=9⇒1+q3=9⇒q=2,
因为a3=4,所以a1q2=4,a1=1,
因此a1++a3++a5++…+a19+
=a1+a3+a5+…+a19++++…+
=+×=.
【补偿训练】
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= (　　)
A.2n-1　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】选B.由Sn=2an+1,可得S1=a1=2a2,
所以a2=,
当n≥2时,有Sn-1=2an,
两式作差可得=,
故数列{an}是从第2项起构成首项a2=,
公比q=的等比数列.
所以Sn=a1+=1+=.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.(2019·临沂高一检测)若数列满足:2a1+22a2+23a3+…+2nan=2n,则数列的前n项和Sn为__________. 
【解析】由2a1+22a2+23a3+…+2nan=2n得:2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=2,且,
两式作差可得:2nan=2,即an=且
由已知等式可得,2a1=2,解得:a1=1,适合上式,
所以an=,
又==,
所以数列是以1为首项,以为公比的等比数列,
则Sn==2-.
答案:2-
7.设数列{an}满足a1=1,且an+1=2,则数列{2nan}的前n项的和Sn=________. 
【解析】由题意得-4an+1an+4(an)2=0,
所以(an+1-2an)2=0,
故an+1=2an,所以{an}为等比数列,an=2n-1,
则2nan=n·2n,
Sn=1·2+2·22+…+n·2n,2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)2n+n·2n+1,
两式作差得-Sn=-n·2n+1,
即Sn=(n-1)2n+1+2.
答案:(n-1)2n+1+2
8.已知cn=(2n-1)2n-1,则数列{cn}的前n项和Sn=________. 
【解析】Sn=1·1+3·2+5·22+…+(2n-1)2n-1,
2Sn=1·2+3·22+5·23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)2n,
上述两式作差得
-Sn=1+2·2+2·22+2·23+…+2·2n-1-(2n-1)2n=1+2-(2n-1)2n,
所以Sn=3-2n(3-2n).
答案:3-2n(3-2n)
9.设数列{an}满足a1=2,an+1=3an-2n+1,n∈N*,则数列{an}的前n项和为________. 
【解析】因为an+1=3an-2n+1,
所以an+1-(n+1)=3(an-n),
所以=3,所以数列{an-n}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an-n=3n-1,
所以an=3n-1+n,
Sn=(30+1)+(31+2)+…+(3n-1+n)=(30+31+…+3n-1)+(1+2+…+n)=+ =+=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共40分)
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*且Sn=an-.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若{bn}=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)当n=1时,a1=a1-,得a1=1,当n≥2时,Sn-Sn-1=an=(an-an-1),得an=3an-1,
所以数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1.
(2)由(1)得:bn=,
又Tn=++…+①
所以Tn=++…+②
①-②得:Tn=++ …+-,
故Tn=-,所以Tn=-.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,向量a=(Sn,2),b=(1,1-2n)满足条件a⊥b.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)因为a⊥b,
所以a·b=Sn+2-=0,得Sn=-2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,
当n=1时,a1=S1=2满足上式,
所以an=2n.
(2)因为cn==,
所以Tn=++…++,
两边同乘,得
Tn=++…++
两式相减得
Tn=++…+-=1-,
所以Tn=2-(n∈N*).
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式.
(2)若bn=nan+n,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式>2018的n的最小值.
【解析】(1)①当n=1时,a1+1=S1+1=2a1,
所以a1=1,
②当n≥2时,Sn+n=2an,n∈N*,
Sn-1+n-1=2an-1,
两式相减得an+1=2an-2an-1,即an=2an-1+1,
所以an+1=2(an-1+1),即=2,
所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
则an+1=2n,
所以an=2n-1,n∈N*.
(2)因为bn=nan+n=n(2n-1)+n=n·2n,
所以Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,
2Tn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
两式相减得-Tn=21+22+23+…+2n-n·2n+1,
所以Tn=(n-1)·2n+1+2,
由>2 018得·2n>1 009,
设cn=·2n,
因为cn+1-cn=·2n>0,
所以数列{cn}为递增数列,
因为c10=·210<1 009,c11=·211>1 009,
所以满足不等式>2 018的n的最小值为11.
13.设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n-1an=n.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求数列{an+log2an}的前n项和.
【解析】(1)由已知知,
当n≥2时,a1+2a2+4a3+…+2n-2an-1=n-1,
所以2n-1an=1,即an=,
当n=1时,a1=1满足上式an=,
所以{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知,an+log2an=+1-n,
所以(a1+log2a1)+(a2+log2a2)+(a3+log2a3)+…+(an+log2an)
=(1-0)+++…+
=-[1+2+3+…+(n-1)]
=2--+.