数学必修52.3 等差数列的前n项和课时训练

　等差数列的前n项和

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.已知等差数列{an}的前10项和为30,a6=8,则a100= (　　)

A.100   B.958   C.948   D.18

【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,

由已知解得

所以a100=-42+99×10=948.

2.已知等差数列{an}的公差为3,且a1+a3=8,则数列{an}的前4项的和S4的值为

 (　　)

A.10   B.16   C.22   D.35

【解析】选C.因为等差数列{an}的公差为3,且a1+a3=8,

所以2a1+2×3=8,所以a1=1,

所以S4=4×1+×3=22.

3.(2019·玉溪高二检测)已知等差数列的前n项和Sn,且S3=S5=15,则S7=

 (　　)

A.4   B.7   C.14   D.

【解析】选B.等差数列的前n项和为Sn,且S3=S5=15,

所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.

再根据S3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=-2,

则S7=7a1+d=49+21×(-2)=7.

4.(2019·大庆高一检测)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则S9=

 (　　)

A.45   B.162   C.81   D.

【解析】选C.因为在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,

所以a5=9.所以S9==9a5=81.

5.等差数列{an}的前n项和为Sn,若=,则下列结论中正确的是 (　　)

A.=2    B.=

C.=    D.=

【解析】选C.由已知Sn=an,

Sn-1=an-1(n≥2),两式相减可得

an=an-an-1(n≥2),化简得

=(n≥2),当n=3时,=.

6.数列{an}的前n项和Sn=2n2+n(n∈N*),则an= (　　)

A.2n-1   B.2n+1

C.4n-1   D.3n+2

【解析】选C.因为数列{an}的前n项和Sn=2n2+n,

所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,

当n=1时,a1=S1=3,符合上式,

所以综上an=4n-1.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=________. 

【解析】方法一:设数列{an}的首项为a1,公差为d,由S3=6,S4=12,得解得

所以S6=6a1+15d=30.

方法二:因为{an}为等差数列,可设前n项和Sn=An2+Bn,由S3=6,S4=12得

解得

即Sn=n2-n,所以S6=36-6=30.

答案:30

8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=32,则a2+2a5+a6=__________. 

【解析】因为S8=32,所以=32.

可得a4+a5=a1+a8=8,则a2+2a5+a6=2(a4+a5)=2×8=16.

答案:16

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.在各项为正的等差数列{an}中,已知公差d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.

【解析】由题意得

即

解得或(舍去)

故

10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.

(1)证明:an+2-an=λ.

(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

【解析】(1)由anan+1=λSn-1知,

an+1an+2=λSn+1-1,

两式相减得,an+1(an+2-an)=λan+1,

又因为an+1≠0,

所以an+2-an=λ.

(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,得a2=λ-1,

由(1)知,a3=λ+1.

令2a2=a1+a3,解得λ=4.

所以an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;

{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,

a2n=3+(n-1)·4=4n-1.

所以an=2n-1,an+1-an=2.

因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知等差数列{1-3n},则公差d等于 (　　)

A.1   B.3   C.-3   D.n

【解析】选C.因为an=1-3n,

所以a1=-2,a2=-5,

所以d=a2-a1=-3.

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=255,a10=20,则数列{an}的公差为

 (　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选C.根据等差数列的求和公式,可得S17=×17=17a9=255,可得a9=15,

又a10=20,所以d=a10-a9=20-15=5.

3.等差数列中,Sn是前n项和,若a3+a8=5,S9=45,则S11= (　　)

A.0   B.10   C.20   D.25

【解析】选A.设等差数列的首项为a1,公差为d,因为,所以,

即,解得,则S11=25×11-×5=0.故选A.

4.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于

 (　　)

A.30   B.45   C.90   D.186

【解析】选C.因为

所以故

所以an=a1+(n-1)d=3n,故bn=a2n=6n,

则

因此{bn}的前5项和为S5=5×6+×6=90.

5.(2019·定州高一检测)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=3,S13=91,则S11=

 (　　)

A.36   B.72   C.55   D.110

【解析】选C.因为S13==13a7=91,

所以a7=7,因为a5=3,所以a5+a7=10,

因为a1+a11=a5+a7=10,

所以S11==55.

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则= ________. 

【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,

所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),

所以====4.

答案:4

7.若数列{an}的前n项和Sn=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足an>0的n的最小值为________. 

【解析】(1)当n=1时,a1=S1=12-8=-7.

(2)当n>1时,由Sn=n2-8n得:

Sn-1=(n-1)2-8(n-1)=n2-10n+9,

两式相减,得:an=2n-9,n=1也符合,由an=2n-9>0,得:n>4.5,

所以,满足an>0的n的最小值为5.

答案:5

8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+3,则an=________. 

【解析】当n=1时,a1=S1=2,

当n≥2,an=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,故an=

答案:

9.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则前9圈的石板总数是________.  

【解析】因为最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则每圈的石板数构成一个以9为首项,以9为公差的等差数列,所以an=9n,当n=9时,第9圈共有81块石板,

所以前9圈的石板总数S9=(9+81)=405.

答案:405

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.

(1)求通项an.

(2)令Sn=242,求n.

【解析】(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,

得方程组解得

所以an=2n+10.

(2)由Sn=na1+·d,Sn=242,

得方程12n+×2=242,

解得n=11或n=-22(舍去),即n=11.

11.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.

(1)若S5=5,求S6及a1.

(2)求d的取值范围.

【解析】(1)由题意知S6=-=-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7.

综上,S6=-3,a1=7.

(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,

即2+9da1+10d2+1=0,

所以(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.

故d的取值范围为d≤-2或d≥2.

12.(2017·江苏高考)对于给定的正整数k,若数列{an}满足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.

(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”.

(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.

【证明】(1)因为是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,

从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d

=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,

所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,

因此等差数列是“P数列”.

(2)数列既是“P数列”,又是“P数列”,

因此,当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①

当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②

由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③

an+2+an+3=4an+1-(an-1+an),④

将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,

所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.

在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2+a3+a3+2d′+a3+3d′=4(a3+d′),

即a2=a3-d′,

在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,因为a3=a2+d′,所以a1+a2+a2+2d′+a2+3d′=4(a2+d′),

即a1=a2-d′,所以数列{an}是等差数列.