人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和课后测评

第二章  数列

本章归纳整合

高考真题

1．(2011·安徽卷)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于 (　　)．

A．15     B．12     C．－12    D．－15

解析　∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.

答案　A

2．(2011·天津卷)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为                                                                                                                                            (　　)．

A．－110    B．－90    C．90     D．110

解析　∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，

∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.

∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.

答案　D

3．(2011·江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于

(　　)．

A．1     B．9     C．10     D．55

解析　∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1.

可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1.∴Sn＋1－Sn＝1.

即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.

答案　A

4．(2011·广东卷)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若ak＋a4＝0，则k＝________.

解析　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S9－S4＝0，即a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,5a7＝0，故a7＝0.而ak＋a4＝0，故k＝10.

答案　10

5．(2011·湖北卷)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．

解析　设所构成数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意即

解得

∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.

答案　

6．(2011·课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a32＝9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．

解　(1)设数列{an}的公比为q.

由a32＝9a2a6得a32＝9a42，所以q2＝.

由条件可知q>0，故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝.

(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an

＝－(1＋2＋…＋n)＝－.

故＝－＝－2.

＋＋…＋

＝－2

＝－.

所以数列的前n项和为－.

7．(2011·山东)在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.

解　(1)当a1＝3时，不合题意；

当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18，符合题意；

当a1＝10时，不合题意．

因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.

故an＝2·3n－1.

(2)因为bn＝an＋(－1)nln an

＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，

所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n])·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3.

所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；

当n为奇数时，Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3＝3n－ln 3－ln 2－1.

综上所述，Sn＝