高中数学人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和课后复习题

2.5　等比数列的前n项和

课时过关·能力提升

基础巩固

1已知数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn表示{an}的前n项和.若a1=3,a2a4=144,则S10的值是(　　).

A.511 B.1 023 C.1 533 D.3 069

解析:设等比数列{an}的公比为q,则a2a4

∵a1=3,∴32q4=144.

∵q>0,∴q=2.

∴S10069.

答案:D

2等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn等于(　　).

A

C

解析:当x=0时,Sn=1;当x=1时,Sn=n;

当x≠0,且x≠1时,Sn

又当x=0时,该式也满足,

所以Sn

答案:C

3中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了(　　)(里非国际通用单位)

A.192里 B.96里

C.48里 D.24里

解析:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q

由题意

解得a1=192,则a2=19

即第二天走了96里,故选B.

答案:B

4已知等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,则q3等于(　　).

A.

C.

解析:∵S3,S9,S6成等差数列,

∴S3+S6=2S9,∴q≠1,

整理得2q9-q6-q3=0.

又q≠0,∴2q6-q3-1=0,

解得q3=1(舍去)或q3=

答案:A

5已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于　　　　　　　　. 

解析:设数列{an}的公比为q,由已知条件可

因为{an}是递增的等比数列,所

所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,

故Sn=2n-1.

答案:2n-1

6已知等比数列的前20项的和为30,前30项的和为70,则前10项的和为　　　　　. 

解析:由题意知S20=30,S30=70.

∵S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,

∴(S20-S10)2=S10(S30-S20),

即(30-S10)2=S10(70-30),解得S10=10.

答案:10

7设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　　　　. 

解析:设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1=qn-1.

因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,

即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3),

也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),

整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).

所以等比数列{an}的首项为a1=1,公比为q=3,

故an=3n-1.

答案:3n-1

8已知等比数列{an}共有2n项,它的全部项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=　　　　　. 

解析:设{an}的公比为q,由已知可得q≠1,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,

S2nS

由题意

∴1+q=3,∴q=2.

答案:2

9已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和.

(1)设S3

(2)若S4,S10,S7成等差数列,证明a1,a7,a4也成等差数列.

(1)解设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.

由已知得q≠1,于

解an=a1qn-1=2·

(2)证明∵S4,S10,S7成等差数列,

∴q≠1,S4+S7=2S10,

整理得q4+q7=2q10,

∴1+q3=2q6,

∴a1+a1q3=2a1q6,

∴a1+a4=2a7,

即a1,a7,a4也成等差数列.

10等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.

(1)求{an}的公比q;

(2)已知a1-a3=3,求Sn.

解(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).

因为a1≠0,所以2q2+q=0.

又q≠0,所以q=

(2)由已知可得a1-a1=4.

从而Sn

能力提升

1在等比数列{an}(n∈N*)中,若a1=1,a4

A.2

C.2

解析:设公比为q,q

则该数列的前10项和为S10

答案:B

2设数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5等于(　　).

A

解析:设等比数列{an}的公比为q,

所以S5

答案:B

3若数列{an}是等比数列,且对任意n∈N*,a1+a2+…+an=2n-1,

A.(2n-1)2 B2n-1)2

C.4n-1 D4n-1)

解析:由Sn=2n-1得a1=S1=1,a2=S2-S1=22-2=2.

故公比为q=2,可知数,公比为q2=4.

所4n-1)

答案:D

★4等比数列{an}的首项为1,公比为q,前n项和为S,由原数列各项的倒数组成一个新数

A

解析:因为a1=1,公比为q,若q≠1,

则其前n项和为S

而在数,公比

设其前n项和为S',

则S'

当q=1时,S=S'=n,也符合S'C.

答案:C

5等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,S6=63,则S4=.

解析:由题意可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,

则(S4-S2)2=S2(S6-S4),∴(S4-3)2=3(63-S4),

解得S4=15或S4=-12.

又S4=S2+S2·q2=3+3q2>0,

∴S4=15.

答案:15

6某公司今年获得利润500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年利润比上一年增加30%,则7年后该公司实现的总利润为　　　　　万元. 

解析:设第n年的利润为an万元,

则an+1=an+an×30%=1.3an,

所以数列{an}是首项为500,公比为1.3的等比数列,

所以7年后该公司实现的总利润为

S7

).

答案:

7在数列{an}中,a1∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn;

(2)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数t的值.

解(1)由Sn+1-Snan+1∈N*).

又a1an∈N*).

从而Sn∈N*).

(2)由(1)知,S1

从而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可t=2.

★8已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S5=35.

(1)求数列{an}的前n项和Sn;

(2)若数列{bn}满足bn

解(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,

故Sn=na1

(2)由(1),得an=3n-2,∴bn=e3n-2,且b1=e.

当n≥2),

∴数列{bn}是首项为e,公比为e3的等比数列.

∴Tn