数学必修52.5 等比数列的前n项和课时练习

 www.ks5u.com学业分层测评（十五）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是(　　)

A．1,1　　B．－1，－1　　C．1,0　　D．－1,0

【解析】　S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.

S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.

【答案】　D

2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于(　　)

A．31  B．33  C．35  D．37

【解析】　根据等比数列性质得＝q5，

∴＝25，∴S10＝33.

【答案】　B

3．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)

A．7  B．8  C．15  D．16

【解析】　设{an}的公比为q，

∵4a1,2a2，a3成等差数列，

∴4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，

即q2－4q＋4＝0，

∴q＝2，

又a1＝1，

∴S4＝＝15，故选C.

【答案】　C

4．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)

A．135   B．100

C．95   D．80

【解析】　由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，

其首项为40，公比为＝.

∴a7＋a8＝40×3＝135.

【答案】　A

5．数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a30＋b30＝60，则{an＋bn}的前30项的和为(　　)

A．1 000  B．1 020  C．1 040  D．1 080

【解析】　{an＋bn}的前30项的和S30＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(a30＋b30)＝(a1＋a2＋a3＋…＋a30)＋(b1＋b2＋b3＋…＋b30)＝＋＝15(a1＋a30＋b1＋b30)＝1 080.

【答案】　D

二、填空题

6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.

【解析】　设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，

S2n＝，

S奇＝.

由题意得＝.

∴1＋q＝3，∴q＝2.

【答案】　2

7．数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝________.

【解析】　数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．

所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.

【答案】　(10n－1)＋n2

8．如果lg x＋lg x2＋…＋lg x10＝110，那么lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝________.

【解析】　由已知(1＋2＋…＋10)lg x＝110，

∴55lg x＝110.∴lg x＝2.

∴lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2 046.

【答案】　2 046

三、解答题

9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值. 【导学号：05920073】

【解】　∵S30≠3S10，∴q≠1.

由得

∴

∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，

∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.

10．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，求数列的前5项和．

【解】　若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.

由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，＝n－1.

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5＝＝.

[能力提升]

1．(2015·广州六月月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝(　　)

A．3∶4  B．2∶3

C．1∶2  D．1∶3

【解析】　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.

【答案】　A

2．设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为(　　)

A．1 673  B．1 675  C.  D.

【解析】　因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 014，所以＝2 014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为＝＝.

【答案】　D

3．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.

【解析】　设等比数列{an}的公比为q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.

又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.

故等比数列{an}的通项公式为

an＝×－n－1

＝(－1)n－1×.

【答案】　(－1)n－1×

4．(2015·重庆高考)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.

【解】　(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得

a1＋2d＝2,3a1＋d＝，

化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，

解得a1＝1，d＝，

故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝.

(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.

设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，

故{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.