高中数学4.2.3 对数函数的性质与图像课时练习

这是一份高中数学4.2.3 对数函数的性质与图像课时练习，共19页。试卷主要包含了函数y＝lga＋1的图像过定点，函数f＝lga的图像一定过，函数f＝lg2的定义域是，已知，则等内容，欢迎下载使用。


知识点一 对数函数的概念
1．下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝ (x<0)；⑥y＝2lg4(x－1)(x>1)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))等于( )
A．3 B．－3
C．－lg36 D．－lg38
3．若f(x)＝lgax＋a2－4a－5是对数函数，则a＝________.
知识点二 对数函数的图像问题
4．函数y＝lga(x＋3)＋1的图像过定点 ( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(－3,1) D．(－2,1)
5．函数f(x)＝lga|x|＋1(06．(多选)函数f(x)＝lga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
知识点三 对数型函数的定义域
7．函数f(x)＝lg2(x2＋3x－4)的定义域是( )
A．[－4,1] B．(－4,1)
C．(－∞，－4]∪[1，＋∞) D．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－x))的定义域为M，g(x)＝ln (1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－19．设f(x)＝lga(1＋x)＋lga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.求a的值及f(x)的定义域．
10．已知，则( )
A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b
11．比较下列各组数的大小：
(1)lg2π与lg20.9；(2)lg20.3与lg0.20.3；
知识点五 解对数不等式
12．已知lg0.3(3x)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
13．不等式的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
知识点六 与对数函数有关的最值、值域问题
14．若函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)的值域是[1，lg214]，则a，b的值分别为( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2)) B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝2)) D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
15．求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(x2＋4)；
(2)y＝
16．已知f(x)＝x2－x＋k，且lg2f(a)＝2，f(lg2a)＝k，a>0，且a≠1.
(1)求a，k的值；
(2)当x为何值时，y＝f(lg2x)有最小值？求出该最小值．
17．判断函数f(x)＝lg2(eq \r(x2＋1)＋x)的奇偶性．
18．已知函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)的定义域为(－1,1)．
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2020)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2020)))；
(2)探究函数f(x)的单调性，并证明．
易错点一 忽视真数定义域而致误
函数的定义域为________．
易错点二 忽视底数a对函数图像的影响
已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图像只能是( )
一、单项选择题
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lga(2x) B．y＝lg 10x
C．y＝lga(x2＋x) D．y＝lg x
2．函数y＝eq \r(x) ln (1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
3．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．c4．函数f(x)＝lg2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
5．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
6．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,lg x＋1，x>0，))若f(x0)>1，则x0的取值范围为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，9) D．(－∞，－1)∪(9，＋∞)
7．若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y＝lga(x2＋2)的最大值为－1，则实数a的值为( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．3 D．eq \f(1,4)
8．函数y＝ax2＋bx与y＝ (ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是( )
二、多项选择题
9．下列函数中值域为R的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg (x2－2)
C．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，0≤x≤2，,2x，x>2)) D．f(x)＝ln (x2＋1)
10．若a>b>0,0A．lgcacb
C．ac>bc D．lgc(a＋b)>0
11．已知集合M＝{x|y＝eq \r(x－1)}，N＝{x|y＝lg2(2－x)}，则下列各集合是∁R(M∩N)的子集的是( )
A．[1,2) B．[2，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．(－∞，3)
12．已知函数f(x)＝lga(x＋1)，g(x)＝lga(1－x)(a>0，a≠1)，则( )
A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B．函数f(x)＋g(x)的图像关于y轴对称
C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数
三、填空题
13．函数f(x)＝lg2eq \r(x)·的最小值为________．
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2x－1，x≤1，,lgax，x＞1，))若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
15．若函数则f(－8)＝________；若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
16．设函数f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2020)＝8，则f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋…＋f(xeq \\al(2,2020)) ＝________.
四、解答题
17．求y＝－eq \f(1,2)lgeq \f(1,2)x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
18．已知函数y＝f(x)的图像与g(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的图像关于x轴对称，且g(x)的图像过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)＞f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
19．已知f(x)＝lg4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域．
20．设a>0，且a≠1，函数y＝有最大值，求函数f(x)＝lga(3－2x)的单调区间．
4.2.3 对数函数的性质与图像
知识点一 对数函数的概念
1．下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝ (x<0)；⑥y＝2lg4(x－1)(x>1)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
解析 符合对数函数的定义的只有③④.
2．函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))等于( )
A．3 B．－3
C．－lg36 D．－lg38
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a－5＝1，,a>0，,a≠1，))解得a＝2，∴f(x)＝lg2x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＝lg2eq \f(1,8)＝－3.故选B.
3．若f(x)＝lgax＋a2－4a－5是对数函数，则a＝________.
答案 5
解析 ∵f(x)＝lgax＋a2－4a－5是对数函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4a－5＝0，,a>0，,a≠1，))∴a＝5.
知识点二 对数函数的图像问题
4．函数y＝lga(x＋3)＋1的图像过定点 ( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(－3,1) D．(－2,1)
答案 D
解析 令x＋3＝1，即x＝－2，得y＝lga1＋1＝1，故函数y＝lga(x＋3)＋1的图像过定点(－2,1)．
5．函数f(x)＝lga|x|＋1(0答案 A
解析 解法一：当x>0时，函数f(x)＝lgax＋1(0解法二：由f(x)＝lga|x|＋1，得f(1)＝1且f(－1)＝1，排除D，再由00时，f(x)单调递减，排除B，C.故选A.
6．(多选)函数f(x)＝lga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 BCD
解析 f(x)＝lga(x＋2)(0知识点三 对数型函数的定义域
7．函数f(x)＝lg2(x2＋3x－4)的定义域是( )
A．[－4,1] B．(－4,1)
C．(－∞，－4]∪[1，＋∞) D．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 一是利用函数y＝x2＋3x－4的图像观察得到，要求图像正确、严谨；二是利用符号法则，即x2＋3x－4>0可因式分解为(x＋4)(x－1)>0，解得x>1或x<－4，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－x))的定义域为M，g(x)＝ln (1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－1答案 C
解析 由1－x>0得函数f(x)的定义域M＝{x|x<1}，由1＋x>0得函数g(x)的定义域N＝{x|x>－1}，所以M∩N＝{x|－19．设f(x)＝lga(1＋x)＋lga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.求a的值及f(x)的定义域．
解 ∵f(1)＝2，∴lga2＋lga2＝2，∴lga2＝1，
∴a＝2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x>0，,3－x>0，))得－1故a的值为2，f(x)的定义域为{x|－1知识点四 利用对数函数的单调性比较大小
10．已知，则( )
A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b
答案 B
解析 由于函数y＝x为减函数，因此由b＜a＜c可得b＞a＞c，又由于函数y＝7x为增函数，所以7b＞7a＞7c.
11．比较下列各组数的大小：
(1)lg2π与lg20.9；(2)lg20.3与lg0.20.3；
(3)lg0.76,0.76与60.7；(4)lg20.4与lg30.4.
解 (1)因为函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，
π＞0.9，所以lg2π＞lg20.9.
(2)由于lg20.3＜lg21＝0，lg0.20.3＞lg0.21＝0，
所以lg20.3＜
(3)因为60.7＞60＝1,0＜0.76＜0.70＝1，
又lg0.76＜lg0.71＝0，所以60.7＞0.76＞lg0.76.
(4)底数不同，但真数相同，根据y＝lgax的图像在a＞1，0＜x＜1时，a越大，图像越靠近x轴，知lg30.4＞lg20.4.
知识点五 解对数不等式
12．已知lg0.3(3x)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
答案 A
解析 因为函数y＝lg0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x>0，,x＋1>0，,3x>x＋1，))解得x>eq \f(1,2).
13．不等式的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
答案 B
解析 由＝－lg2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))>－1，得
lg2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))<1＝lg22，即0－eq \f(3,2)知识点六 与对数函数有关的最值、值域问题
14．若函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)的值域是[1，lg214]，则a，b的值分别为( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2)) B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝2)) D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
答案 D
解析 由1≤lg2(x2－2)≤lg214得2≤x2－2≤14，得4≤x2≤16，得－4≤x≤－2或2≤x≤4.由x2－2>0得x<－eq \r(2)或x>eq \r(2)，故b<－eq \r(2)或a>eq \r(2).当a>eq \r(2)时，由函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)单调递增得2≤x≤4，故a＝2，b＝4；当b<－eq \r(2)时，由函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)单调递减得－4≤x≤－2，故a＝－4，b＝－2.
15．求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(x2＋4)；
(2)y＝
解 (1)y＝lg2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，所以lg2(x2＋4)≥lg24＝2.
所以y＝lg2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0又y＝在(0,4]上为减函数，
所以≥4＝－2，
所以y＝ (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
16．已知f(x)＝x2－x＋k，且lg2f(a)＝2，f(lg2a)＝k，a>0，且a≠1.
(1)求a，k的值；
(2)当x为何值时，y＝f(lg2x)有最小值？求出该最小值．
解 (1)因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2fa＝2，,flg2a＝k，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a＋k＝22，,lg2a2－lg2a＋k＝k，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝4＋a－a2，,lg2a＝0或lg2a＝1.))
因为a≠1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，,a＝2.))
(2)y＝(lg2x)2－lg2x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x－\f(1,2)))2＋eq \f(7,4)，
所以当lg2x＝eq \f(1,2)，
即x＝eq \r(2)时，f(lg2x)有最小值，最小值为eq \f(7,4).
知识点七 对数函数性质的综合
17．判断函数f(x)＝lg2(eq \r(x2＋1)＋x)的奇偶性．
解 易知f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
又f(－x)＋f(x)＝lg2(eq \r(x2＋1)－x)＋lg2(eq \r(x2＋1)＋x)＝lg2(x2＋1－x2)＝lg21＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
18．已知函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)的定义域为(－1,1)．
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2020)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2020)))；
(2)探究函数f(x)的单调性，并证明．
解 (1)∵函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，
且f(－x)＝lg eq \f(1＋x,1－x)＝－lg eq \f(1－x,1＋x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2020)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2020)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2020)))－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2020)))＝0；
(2)任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝lg eq \f(1－x1,1＋x1)－lg eq \f(1－x2,1＋x2)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x1,1＋x1)·\f(1＋x2,1－x2)))＝lg eq \f(1＋x21－x1,1＋x11－x2).
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴1＋x2＞1＋x1＞0,1－x1＞1－x2＞0，
∴eq \f(1＋x2,1＋x1)＞1，eq \f(1－x1,1－x2)＞1，
则eq \f(1＋x21－x1,1＋x11－x2)＞1.
∴lg eq \f(1＋x21－x1,1＋x11－x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
易错点一 忽视真数定义域而致误
函数的定义域为________．
易错分析 错误的根本原因是使函数有意义，不仅需要＋1≥0，而且还需要真数x－1>0，忽视此条件导致错误．
答案 (1,3]
正解 要使函数有意义，
需＋1≥0且x－1>0，
所以≥－1且x>1，解得1所以函数的定义域为(1,3]．
易错点二 忽视底数a对函数图像的影响
已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图像只能是( )
易错分析 解答本题易混淆函数类型或忽视底数a对函数图像的影响致误．
答案 B
正解 若0若a>1，则函数y＝ax的图像上升且过点(0,1)，函数y＝lga(－x)的图像下降且过点(－1,0)，只有B中图像符合．
一、单项选择题
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lga(2x) B．y＝lg 10x
C．y＝lga(x2＋x) D．y＝lg x
答案 D
解析 由对数函数的概念，知D正确．
2．函数y＝eq \r(x) ln (1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
答案 B
解析 因为y＝eq \r(x) ln (1－x)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,1－x＞0，))解得0≤x＜1.
3．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．c答案 D
解析 由题知，a＝lg45>1，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝1，c＝lg30.4<0，故c4．函数f(x)＝lg2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 ∵3x>0，∴3x＋1>1.∴lg2(3x＋1)>0.∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
5．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
答案 A
解析 由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln eq \f(1＋x,1－x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．
6．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,lg x＋1，x>0，))若f(x0)>1，则x0的取值范围为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，9) D．(－∞，－1)∪(9，＋∞)
答案 D
解析 当x0≤0时，由xeq \\al(2,0)>1得x0<－1；当x0>0时，由lg (x0＋1)>1得x0>9.综上，x0<－1或x0>9.
7．若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y＝lga(x2＋2)的最大值为－1，则实数a的值为( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．3 D．eq \f(1,4)
答案 B
解析 因为ax≥1＝a0的解集为{x|x≤0}，所以08．函数y＝ax2＋bx与y＝ (ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是( )
答案 C
解析 若|eq \f(b,a)|>1，则函数y＝的图像为选项A，B中所示过点(1,0)的曲线，且|eq \f(b,2a)|>eq \f(1,2)，故函数y＝ax2＋bx的图像的对称轴x＝－eq \f(b,2a)应在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))内，A，B都不正确；若0<|eq \f(b,a)|<1，则函数y＝lgeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图像为选项C，D中所示过点(1,0)的曲线，且0<|eq \f(b,2a)|二、多项选择题
9．下列函数中值域为R的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg (x2－2)
C．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，0≤x≤2，,2x，x>2)) D．f(x)＝ln (x2＋1)
答案 AB
解析 A，B中函数的值域为R，C中当0≤x≤2时，f(x)∈[0,4]，当x>2时，f(x)∈(4，＋∞)，故f(x)的值域为[0，＋∞)，D中f(x)的定义域为R，x2＋1≥1，ln (x2＋1)≥0，故f(x)的值域为[0，＋∞)．故选AB.
10．若a>b>0,0A．lgcacb
C．ac>bc D．lgc(a＋b)>0
答案 AC
解析 ∵0b>0，得lgcab>0，得cab>0，∴eq \f(a,b)>1.又01，∴ac>bc，故C正确；取c＝eq \f(1,2)，a＋b＝2，则lgc(a＋b)＝lgeq \f(1,2)2＝－1<0，故D错误，故选AC.
11．已知集合M＝{x|y＝eq \r(x－1)}，N＝{x|y＝lg2(2－x)}，则下列各集合是∁R(M∩N)的子集的是( )
A．[1,2) B．[2，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．(－∞，3)
答案 BC
解析 由题意可得M＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，N＝{x|2－x>0}＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}＝[1,2)，∴∁R(M∩N)＝(－∞，1)∪[2，＋∞)．故选BC.
12．已知函数f(x)＝lga(x＋1)，g(x)＝lga(1－x)(a>0，a≠1)，则( )
A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B．函数f(x)＋g(x)的图像关于y轴对称
C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数
答案 AB
解析 ∵f(x)＝lga(x＋1)，g(x)＝lga(1－x)(a>0，a≠1)，∴f(x)＋g(x)＝lga(x＋1)＋lga(1－x)，由x＋1>0且1－x>0，得－11时，函数f(x)＋g(x)在(－1,0)上单调递增，在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错误；∵f(x)－g(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)，当01时，f(x)＝lga(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝lga(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错误．故选AB.
三、填空题
13．函数f(x)＝lg2eq \r(x)·的最小值为________．
答案 －eq \f(1,4)
解析 显然x>0，∴f(x)＝lg2eq \r(x)·＝eq \f(1,2)lg2x·lg2(4x2)＝eq \f(1,2)lg2x·(lg24＋2lg2x)＝lg2x＋(lg2x)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4)，当且仅当x＝eq \f(\r(2),2)时，有f(x)min＝－eq \f(1,4).
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2x－1，x≤1，,lgax，x＞1，))若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案 {a|2＜a≤3}
解析 ∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
∴a的取值需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＞0，,a＞1，,lga1≥a－2－1，))
解得2＜a≤3.
15．若函数则f(－8)＝________；若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
答案 －3 (－1,0)∪(1，＋∞)
解析 当x＝－8时，f(x)＝8＝－3.若a>0，则由f(a)>f(－a)得lg2a>a，即2lg2a>0，得a>1；若a<0，则由f(a)>f(－a)得(－a)>lg2(－a)，即2lg2(－a)<0，得－11或－116．设函数f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2020)＝8，则f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋…＋f(xeq \\al(2,2020)) ＝________.
答案 16
解析 ∵f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋f(xeq \\al(2,3))＋…＋f(xeq \\al(2,2020))
＝lgaxeq \\al(2,1)＋lgaxeq \\al(2,2)＋lgaxeq \\al(2,3)＋…＋lgaxeq \\al(2,2020)
＝lga(x1x2x3…x2020)2
＝2lga(x1x2x3…x2020)
＝2f(x1x2x3…x2020)，
∴原式＝2×8＝16.
四、解答题
17．求y＝－eq \f(1,2)lgeq \f(1,2)x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解 因为2≤x≤4，所以lgeq \f(1,2)2≥lgeq \f(1,2)x≥lgeq \f(1,2)4，
即－1≥≥－2.
设t＝，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－eq \f(1,2)t＋5，其图像的对称轴为t＝eq \f(1,4)，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝eq \f(13,2).
18．已知函数y＝f(x)的图像与g(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的图像关于x轴对称，且g(x)的图像过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)＞f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
解 (1)∵g(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的图像过点(9,2)，
∴lga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝lg3x.
又函数y＝f(x)的图像与g(x)＝lg3x的图像关于x轴对称，∴f(x)＝
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，即(3x－1)> (－x＋5)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1＞0，,－x＋5＞0，,3x－1＜－x＋5，))
解得eq \f(1,3)＜x＜eq \f(3,2)，
∴x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(1,3)＜x＜\f(3,2))).
19．已知f(x)＝lg4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域．
解 (1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此
即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上单调递增，
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，f(2)＝lg415，
因此f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域为[0，lg415]．
20．设a>0，且a≠1，函数y＝有最大值，求函数f(x)＝lga(3－2x)的单调区间．
解 设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
当x∈R时，t有最小值2，无最大值．
所以lg (x2－2x＋3)的最小值为lg 2，无最大值．
又因为y＝有最大值，所以0由f(x)＝lga(3－2x)，得其定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))).
设u(x)＝3－2x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))，
则f(x)＝lgau(x)．
因为u(x)＝3－2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))上是减函数，
所以f(x)＝lgau(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))上是增函数．
所以f(x)＝lga(3－2x)的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))).