高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.3 对数函数的性质与图像习题ppt课件

培优课　与对数函数有关的复合函数

与对数函数有关的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题是本部分知识的常考题型，下面通过例题对这三类问题加以剖析归纳.

(1)对数型复合函数一般可分为两类：

①函数y＝logaf(x)的单调性与函数u＝f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同，在0<a<1时相反.

②研究y＝m(logax)2＋nlogax＋c型复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f(t)的单调性即可.

(2)对数型复合函数奇偶性的判断方法

根据奇偶函数定义判断.

(3)解决对数型复合函数y＝logaf(x)值域问题的思路

关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围.其值域的求解步骤如下：

①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；

②求f(x)的定义域；

③求u的取值范围；

④利用y＝logau的单调性求解.

类型一　对数型复合函数的单调性问题

例1 (1)求函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调区间；

(2)若函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)在区间[2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.

解　(1)设t＝x2－2x－3>0，

得x>3或x<－1.

由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，

又y＝logt在定义域内单调递减，

因而函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞).

(2)由已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)在区间[2，＋∞)上单调递增，

设t＝x2＋ax－a－1，其图像为开口向上的抛物线，

因而

解得a>－3.

故实数a的取值范围为(－3，＋∞).

类型二　对数型复合函数的奇偶性问题

例2 已知函数f(x)＝lg(x＋2)－lg(2－x).

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)求不等式f(x)>1的解集.

解　(1)要使函数f(x)有意义，

则解得－2<x<2.

故所求函数f(x)的定义域为(－2，2).

(2)f(x)为奇函数.证明如下：

由(1)知f(x)的定义域为(－2，2)，

设任意的x∈(－2，2)，则－x∈(－2，2)，

且f(－x)＝lg(－x＋2)－lg(2＋x)

＝－f(x)，故f(x)为奇函数.

(3)因为y1＝lg(x＋2)在定义域上单调递增，y2＝－lg(2－x)在定义域上单调递增，所以f(x)在定义域(－2，2)上是增函数，

所以f(x)>1等价于>10，

解得＜x＜2.

所以不等式f(x)>1的解集是

类型三　与对数函数有关的值域问题

例3 (1)求函数y＝log(8－2x－x2)的值域；

(2)求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值.

解　(1)设u＝8－2x－x2

＝－(x＋1)2＋9≤9，又u>0，

∴0<u≤9.

∵y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，

∴logu≥log9＝－2，

∴y＝log(8－2x－x2)的值域为[－2，＋∞).

(2)因为2≤x≤4，

所以log2≥logx≥log4，

即－1≥logx≥－2.

设t＝logx，则－2≤t≤－1，

所以y＝t2－t＋5，其图像的对称轴为直线t＝，

所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.